அலகு

(WO

அன்்றறாட ேறாழ்வில் வேலல என்்ற ச�றால் பலதரபபடட தருணங்களில் பயன்படுததபபடுகி்றது. இது உடல் �றார்நத வேலல மறறும் மனம் �றார்நத வேலல ஆகிய இரணலடயும் குறிக்கும். உணலமயில் எ்நத ஒரு ச�யல்பறாடும் சபறாதுேறா்க வேலல என்வ்ற அலைக்்கபபடும். ஆனறால் இயறபியலில் வேலல என்்ற ச�றால் துல்லியமறான ேலரயல்றலயக் ச்கறாணடுள்ள ஒரு இயல் அ்ளேறா்கக் ்கருதபபடுகி்றது. ஒரு சபறாருளின் மீது ச�யல்படுததபபடட வில� அதலன இடம்சபயரச் ச�யதறால் வில�யினறால் வேலல ச�யயபபடுகி்றது. வேலல ச�யேதறகு ஆற்றல் வதலே. அதறாேது, வேலல ச�யேதற்கறான தி்றன் ஆற்றல் என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது. எனவே வேலலயும் ஆற்றலும் ஒதத பரிமறாணதலதப சபறறுள்ளன. இயறபியலில் ஆற்றலறானது இய்நதிர ஆற்றல், மின் ஆற்றல், சேபப ஆற்றல், அணுக்்கரு ஆற்றல் வபறான்்ற பல்வேறு ேடிேங்களில் உள்ளன. பல இய்நதிரங்கள ஒரு ேல்கயறான ஆற்றலல எடுததுக்ச்கறாணடு வேறு ேல்கயறான ஆற்றலல சேளிபபடுததுகின்்றன. இபபறாடப பகுதியில் முக்கியமறா்க இய்நதிர ஆற்றலின் இரு ேல்க

_    கற்றலின் ந�ோககஙகள்_

அறிமுகம்

இந்த அலகில் மோணவரகள் அறிநது ககோள்்ள இருப்பது

• வேலலயின் ேலரயல்ற • மறா்றறா மறறும் மறா்றக்கூடிய வில�யினறால் ச�ய • பல்வேறு ேல்கயறான ஆற்றல் • ஆற்றல் மறா்றறா விதி • ச�ஙகுதது ேடட இயக்்கம் • தி்றனின் ேலரயல்ற • பல்வேறு ேல்கயறான வமறாதல்்கள

“பருப்பொருளே ஆற்றல், ஆற்றளே ஒளி, நொம் அ

லல, ஆற்றல் மறறும் தி்றன் RK, ENERGY AND POWER)

யபபடட வேலல

ஆற்றல்்க்ளறான இயக்்க ஆற்றல் மறறும் நிலல ஆற்றல் ஆகியேறல்றக் ்கறாணவபறாம். அடுதது விேறாதிக்்கபபட இருபபது, வேலல ச�யயும் வீதம் அல்லது ஆற்றல் சேளியிடபபடும் வீதம் ஆகும். வேலல ச�யயபபடும் வீதம் தி்றன் எனபபடும். கிரிக்ச்கட வில்ளயறாடடில் ஒரு �க்திேறாய்நத அடி என்பது மடலடயறால் ப்நலத வே்கமறா்க அடிபபலதக் குறிக்கி்றது. இ்நதப பறாடபபகுதியறானது வேலல, ஆற்றல் மறறும் தி்றன் ஆகிய மூன்று இயல் அ்ளவு்கள மறறும் அேறறின் முக்கியததுேம் குறிதத ஒரு நல்ல புரிதலல ே்ளரக்கும் வநறாக்்கதலதக் ச்கறாணடுள்ளது.

நவலல [WORK]

படம் 4.1 இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு ஒரு சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் F என்்ற வில� அதலன dr என்்ற அ்ளவிலறான இடபசபயரச்சிலய ஏறபடுததி ந்கரததுேதறா்கக் ்கருதுவேறாம். ்கணிதவியலின்படி, சபறாருளின் மீது வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல (W) பின்ேருமறாறு எழுதபபடுகி்றது.

W F dr= ⋅ 

 (4.1)

னைவரும் ஒளி மனிதர்கள்” – ஆல்பரட ஐன்ஸ்டீன்

்படம் 4.1 வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல

இஙகு 

F dr⋅ இன் சபருக்்கல்பலன் ஒரு ஸ்வ்கலர சபருக்்கல் அல்லது புளளிப சபருக்்கல் ஆகும். இரு சேக்டர்களின் ஸ்வ்கலர சபருக்்கல் பலன் ஒரு ஸ்வ்கலர மதிபபறாகும். (பகுதி 2.5.1 ஐக் ்கறாண்க). எனவே ச�யயபபடட வேலல ஒரு ஸ்வ்கலர அ்ளேறாகும். இது எணமதிபலப மடடும் சபறறுள்ளது மறறும் தில�யற்றது. SI அலகு முல்றயில் ச�யயபபடட வேலலயின் அலகு N m அல்லது ஜுல் (J) ஆகும். அதன் பரிமறாண ேறாயபபறாடு [ML2T-2] ஆகும். �மன்பறாடு (4.1) இல் இரு்நது

W Fdr cos= θ (4.2)

இதலனப படம் 4.2 ஐப பயன்படுததிப புரி்நதுச்கறாள்ளலறாம். (



a b ab  cos என்பதறால்). இஙகு θ என்பது சபறாருளின் மீது ச�யல்படுததபபடட வில�க்கும் அ்நதபசபறாருளின் இடபசபயரச்சிக்கும் இலடவய உள்ள வ்கறாணமறாகும்.

θ F cosθ

dr

F

்படம் 4.3 சுழிவேலல ச�யயபபடும் மறாறுபடட

்படம் 4.2 ச�யயபபடட வேலலலயக் ்கணக்கிடுதல்

dr

F

W = (F cosθ)dr

F cosθ

θ

வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல என்பது வில� ( )F  இடபசபயரச்சி ( )dr

 மறறும் அேறறிறகிலடவய

உள்ள வ்கறாணம் θ ஆகியேறல்றச் �றார்நதது. கீழ்க்்கணட வநரவு்களில் ச�யயபபடட வேலல சுழியறாகும். (i) வில� சுழியறாகும் வபறாது (F = 0)

உதறாரணமறா்க, உரறாயேற்ற ஒரு கிலடதத்ளப பரபபில் மறா்றறா தில�வே்கததில் ந்கரும் (உரறாயவு இல்லறாததறால்) ஒருசபறாருள சதறாடர்நது இயஙகிக் ச்கறாணவட இருக்கும். (இது ஒரு இலடசிய (ideal) சூழ்நிலல)

(ii) இடபசபயரச்சி சுழியறாகும் வபறாது (dr = 0) உதறாரணமறா்க, திடமறா்க உள்ள ஒரு சுேரின் மீது வில� ச�லுததபபடடறால் வில�யறானது எ்நத இடபசபயரச்சிலயயும் ஏறபடுததறாது. எனவே படம் 4.3 (அ) இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு ச�யயபபடட வேலல சுழியறாகும்.

வநரவு்கள

|——|——|

(iii) வில�யும் இடபசபயரச்சியும் ஒன்றுக்ச்கறான்று ச�ஙகுததறா்க உள்ளவபறாது (θ = 90o). படம் 4.3 (ஆ) இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு ஒரு சபறாரு்ளறானது கிலடதத்ளத தில�யில் ந்கரும்வபறாது புவியீரபபுவில� (mg) சபறாருளின் மீது வேலல ஏதும் ச�யயறாது, ஏசனனில் அது இடபசபயரச்சிக்கு ச�ஙகுததறா்க ச�யல்படுகி்றது. படம் 4.3 (இ) இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு ேடட இயக்்கததில் உள்ள சபறாருளின்மீது ச�யல்படும் லமயவநறாக்கு வில�யறானது வேலல ஏதும் ச�யயறாது. ஏசனனில் அது எபவபறாதும் இடபசபயரச்சிக்கு ச�ஙகுததறா்க உள்ளது.

ச்கறாடுக்்கபபடட வில� (F ) மறறும் இடபசபயரச்சி (dr) க்கு அடடேலண 4.1 இல் சதறாகுததுள்ளேறாறு அேறறிறகிலடவய உள்ள வ்கறாணம் θ ஆனது ச�யயபபடட வேலலயின் மதிபலப முடிவு ச�யகி்றது. வில�யினறால் ச�யயபபடும் எதிரக்குறி வேலலக்குப பல உதறாரணங்கள உள்ளன. ்கறால்ப்நது வில்ளயறாடடில், வீரர (Goal keeper) அேலர வநறாக்கி ேரும் ப்நலத ஒரு வில�லயச் ச�லுததிப பிடிக்கி்றறார. அவ்வில�யறானது ப்நதின் இயக்்கததிறகு எதிரதில�யில் ப்நது அேரது ல்க்களில் ஓயவுநிலலக்கு ேரும் ேலர ச�லுததபபடுகி்றது. படம் 4.4 இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு வில�லயச் ச�லுததும் வநரததில் அேர ப்நதின்மீது எதிரவேலல ச�யகி்றறார. இ்நதப பறாடபபகுதியில் வமலும் பல எதிரவேலலக்்கறான சூழ்நிலல்கள பறறி ்கறவபறாம்.

அட்டவலண 4.1 வ்கறாணம் (θ)மறறும் வேலலயின் தன் வ்கறாணம் (θ) cosθ

θ = 0o 1

0 <θ< 90o (குறுஙவ்கறாணம்) 0 < cosθ <

θ = 90o (ச�ஙவ்கறாணம்) 0 90o<θ< 180o -1 < cosθ < θ = 180o -1

்படம் 4.4 எதிரவேலல ச�யயபபடுதல்

dr F

எடுத்துககோட்டு 4. 1 ஒரு சபடடி 25 N வில�யினறால் 15 m இடபசபயரச்சி ஏறபடுமறாறு இழுக்்கபபடுகி்றது. வில�க்கும் இடபசபயரச்சிக்கும் இலடவய உள்ள வ்கறாணம் 30° எனில் வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலலலயக் ்கறாண்க.

தீரவு வில� F = 25 N இடபசபயரச்சி dr = 15 m

30o

லம வேலல வநரக்குறி, சபருமம்

1 வநரக்குறி சுழி

0 எதிரக்குறி எதிரக்குறி, சபருமம்

F மறறும் dr இலடவய உள்ள வ்கறாணம் θ = 30o

ச�யயபபடட வேலல W Fdr cos‚= θ

W cos= × × ° = × ×25 15 30 25 15 3 2

W J= 324 76.

 மோ்றோ விலையினோல் கைய்யப்பட்ட  நவலல

ஒரு சபறாருளின் மீது F என்்ற மறா்றறா வில� ச�யல்படும்வபறாது, வில�யினறால் dr என்்ற சிறு இடபசபயரச்சிலய ஏறபடுததச் ச�யயபபடட சிறு வேலல dW க்்கறான சதறாடரபு

dW F cos dr= ( )θ (4.3)

சதறாடக்்க நிலல ri முதல் இறுதி நிலல rf ேலர இடபசபயரச்சிலய ஏறபடுதத ச�யயபபடும் சமறாதத வேலல,

W dW r

r

i

f

  (4.4)

W F cos dr F cos dr= ( ) = ( )∫ ∫ r

r

r

r

i

f

i

f

θ θ

= (F cos r rf iθ) −( ) (4.5)

மறா்றறாத வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல படம் 4.5 இல் ்கறாடடபபடடுள்ளது. ேலரபடததின் கீழ் உள்ள பரபபு மறா்றறாத வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலலலயக் குறிக்கி்றது.

்படம் 4.5 மறா்றறாத வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல

ri rf r

F c

os 

எடுத்துககோட்டு 4.2 2 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள 5 m உயரததில் இரு்நது தலரயில் விழுகி்றது. புவியீரபபு வில�யினறால் சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட வேலல என்ன? (்கறாறறின் தலடலயப பு்றக்்கணிக்்கவும். புவியீரபபு முடுக்்கம் g = 10 m s-2 எனக் ச்கறாள்க)

dr

5m F = mg

தீரவு இ்நவநரவில் சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் வில� கீழ் வநறாக்கிய புவியீரபபு வில� mg ஆகும். இது மறா்றறா வில�யறாகும். புவியீரபபு வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல

W = r

r

i

f

F dr  



W F cos dr r

r

i

f

= ( )∫θ = (mg cosθ) (r rf i- ).

வமலும் சபறாரு்ளறானது படததில் ்கறாடடியுள்ளேறாறு கீழ்வநறாக்கிய புவியீரபபு வில�யின் (



F = _mg_) தில�யில் ந்கருகி்றது. எனவே, அேறறிறகிலடவய உள்ள வ்கறாணம் θ = 0°, cos0° = 1 மறறும் இடபசபயரச்சி (rf - ri) =5 m

W = mg r rf i  W = 2 × 10 × 5 = 100 J

எனவே சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் புவியீரபபு வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல வநரக்குறி மதிபலபப சபறுகி்றது.

θ = 30F மற²Ý dr இலடவய உளN WFவ>T= ணÝ dr coச�யயபபடட வேலல θo15 ×° os30 =×25 15 ×.76
Wc=×25WJ= 324
32

எ©Ú« க கோ Ø©   4.22 kg €லL°ளN ஒ± சபT±ள 5 m உயரதà இ±Û« தலர„à ŠµxL«. ®Ššரப® Šல�„னTà சபT±ˆå ™« ச�யயபபடட வேலலஎåன? (>Tற†å தலடலயப ®LÔ>~Ô>¶Ý.®Ššரப® ¯©Ô>Ý g = 10 m s எனÔ ச>Tள>)-2 drF = mg5m•ர¶ mgஇÛவநரŠà சபT±ˆå ™« ச�யàப©Ý Šல�Žâ வநTÔxய ®Ššரப® Šல� ஆ¤Ý. இ« மTLT Šல�யT¤Ý.∫®Ššரப® Šல�„னTà ச�யயபபடட வேலல W = Fd r()WF= cosθ dr =r (mg cosθ (rr - ).frr i  வம³Ý சபT±NTன« f படதà >Tட}°ளNfi F =ேTmg²ŽâவநTÔxய ®Ššr ரப® Šல�„å ( )iல�„à ந>±xL«. எனவே, அேற†றxலடவயஉளN வ>TணÝ θ = 0 °, cos0° = 1 மற²ÝஇடபசபயரÖz (r - r ) =5 m W = mg rr f iW = 2 × 10 × 5 = 100 Jfiஎனவே சபT±ˆå ™« ச�யàப©Ý ®Ššரப® Šல�„னTà ச�யயபபடட வேலலவநரÔ¤† மபலபப சப²xL«.

எடுத்துககோட்டு 4.3 படததில் ்கறாடடியுள்ளேறாறு நில்ற m = 1 kg ச்கறாணட ஒரு சபறாருள θ = 30° �றாயவுக்வ்கறாணம் ச்கறாணட 10 m நீ்ளமுள்ள உரறாயேற்ற த்ளததில் வமலிரு்நது கீழ்வநறாக்கிச் �றுக்குகி்றது. புவியீரபபு வில� மறறும் ச�ஙகுதது வில�யினறால் சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட வேலலலயக் ்கணக்கிடு்க. புவியீரபபு முடுக்்கம் (g) = 10 m s−2 எனக் ்கருது்க.

mg

mg sin θ

mg cos θ

N

m

10 m

θ

θ

தீரவு: �றாயவுதத்ளததில் சபறாருள அலடயும் முடுக்்கம்

= g sinθ என மு்நலதய பறாடபபகுதியில் ்கணக்கிடடுளவ்ளறாம். நியூடடனின் இரணடறாம் விதிபபடி, �றாயவுதத்ளததில் சபறாருளின்மீது ச�யல்படும் வில� F = mg sinθ. இ்நத வில�யறானது சபறாருளின் இயக்்கம் முழுேதும் மறா்றறாது என்பலத அறியவும். புவியீரபபு வில�யின் �றாயவுதத்ளததின் கிலடதத்ளக் கூறினறால் (mg sinθ) ச�யயபபடட வேலல

W = 

_F dr Fdr_. cos  ϕ

இஙகு ϕ என்பது வில� (mg sinθ) மறறும் சபறாருள ச�ல்லும் தில�க்கு (dr) இலடவய உள்ள வ்கறாணமறாகும். இ்நவநரவில், வில� (mg sinθ) மறறும் இடபசபயரச்சி rd ஆகியலே ஒவர தில�யில் உள்ளன. எனவே ϕ = 0° மறறும் cos ϕ = 1

W = F dr = (mg sin length of inclinθ × () (dr)

(dr =�றாயத்ளததின் நீ்ளம்)

W = 1 × 10 × sin 30° × 10 = 100 1 2

50  J

mg cos θ என்்ற கூறு மறறும் ச�ஙகுதது வில� N ஆகியலே சபறாருள ச�ல்லும் தில�க்குச் ச�ஙகுததறா்க உள்ளதறால் அலே எ்நத வேலலயும் ச�யயறாது.

எடுத்துககோட்டு 4.4 வமல்வநறாக்கி எறியபபடட 2 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள 5 m உயரதலத அலட்நது பின்னர தலரயில் ே்நது விழுகி்றது (்கறாறறுததலடலயப பு்றக்்கணிக்்கவும்) எனில் பின்ேருேனேறல்ற ்கணக்கிடு்க. (a) சபறாருள 5 m உயரதலத அலடயும்வபறாது

புவியீரபபு வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல

(b) சபறாருள மீணடும் தலரலய அலடயும்வபறாது புவியீரபபு வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல

(c) புவியீரபபு வில�யினறால் வமல்வநறாக்கிய மறறும் கீழ்வநறாக்கிய இயக்்கததில் ச�யயபபடட சமறாததவேலல மறறும் முடிவின் இயறபியல் முக்கியததுேதலதக் குறிபபிடு்க

தீரவு சபறாருள வமல்வநறாக்கிச் ச�ல்லும்வபறாது இடபசபயரச்சி வமல்வநறாக்கிய தில�யிலும் சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் புவியீரபபு வில� கீழ்வநறாக்கிய தில�யிலும் ச�யல்படுகின்்றன. எனவே இடபசபயரச்சிக்கும் புவியீரபபு வில�க்கும் இலடவய உள்ள வ்கறாணம் 180° ஆகும்.

(a) வமல்வநறாக்கிய இயக்்கததில் புவியீரபபு வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல

இஙகு dr = 5 m மறறும் F = mg

Wநமல் = Fdr cos θ = mgdr cos 180°

Wநமல் = 2 × 10 × 5 × (-1) = - 100 J

_[cos 180_° = -1]

(b) சபறாருள கீழ்வநறாக்கி விழும்வபறாது புவியீரபபு வில� மறறும் இடபசபயரச்சி இரணடும் ஒவர தில�யில் உள்ளன. இதன் மூலம் புவியீரபபு வில�க்கும் இடபசபயரச்சிக்கும் இலடவய உள்ள வ்கறாணம் θ = 0° என அறியலறாம்.

ed plane)

² €லL m = 1 kg ச>Tணட¶Ôவ>TணÝ ச>TணடறL தNத à வம‡±Û« ®Ššரப® Šல� மற²Ý Tà சபT±ˆå ™« Ô >ணÔx©>. ®Ššரப® >±«>.
எ©Ú« க கோ Ø©   4.3பட தà >Tட}°ளN ேTஒ± சபT±ள θ = 30 ° �Tய10 m –N ¯ளN உரTயேŽâவநTÔxÖ �²Ô¤xL«. ச�ங¤த« Šல�„னச�யயபபடட வேலலலய¯©Ô>Ý (g) = 10 m s எனÔ −2
10 mmmg cos θθ	Nθθ

| mg sin | | mg |

| •ர¶:gs inθ�Tய¶ததNத à சபT±ள அலட °Ý ¯©Ô>Ý என ¯Ûலதய பTடபப¤„à >ணÔxட©ளவNT Ý.€Ãடட å இரணடT Ý Šபப},�Tய¶ததNத à சபT±ˆå™« ச�யàப©Ý Šல� F = mg sinθ. இÛத Šல�யTன« சபT±ˆå இயÔ>Ý ¯µே«Ý மTLT« எåபலத அ†ய¶Ý.®Ššரப® Šல�„å �Tய¶ததN தå xலடததN Ô·†னTà (mg sinθ) ச �யயபபடட வேலலFd.c rF dr o W = ϕஇங¤ ϕ எåப« Šல� (mg sinθசபT±ள ச�à³Ý ல�Ô¤ (dr) இலடவயவ>TணமT¤Ý. இÛவநரŠà, Šல� (mg sinஇடபசபயரÖz dr ஆxயலே ஒவரஉளNன. எனவே ϕ = 0° மற²Ý cos ϕ = W = F dr = ( mg lsin ) (dr ( engt)(dr =�TயதNத å –N Ý)W = 1 × 10 × sin 30° × 10 = 100  |

| ) மற²ÝஉளNθ) மற²Ýல�„à1 | | h of inclined plane)150 J2 |

Wகீழ் = Fdr cos 0°

Wகீழ் = 2 ×10 × 5× (1) = 100J [cos 0° = 1]

(c) சபறாருளின் முழு பயணததின்வபறாது (வமல்வநறாக்கிய மறறும் கீழ் வநறாக்கிய இயக்்கம்) புவியீரபபு வில�யினறால் ச�யயபபடட சமறாதத வேலல

Wசமறாததம் = Wவமல் + Wகீழ்

= -100_J_ + 100_J_ = 0

புவியீரபபு வில�யறானது சபறாருளிறகு எவ்வித ஆற்றலலயும் மறாற்றவில்லல என்பலத இது குறிக்கி்றது. சபறாருள வமல்வநறாக்கி எறியபபடும்வபறாது பு்றக்்கறாரணி்க்ளறால் சபறாருளுக்கு ஆற்றல் அளிக்்கபபடுகி்றது. சபறாருள திரும்ப ே்நது தலரயில் வமறாதும்வபறாது சபறாருள சபற்ற ஆற்றலறானது புவிபபரபபிறகு மறாற்றபபடுகி்றது (தலரயினுள ச�ல்கி்றது)

எடுத்துககோட்டு 4.5 ஒரு பளு தூக்குபேர 250 kg நில்றலய 5000 N வில�யறால் 5 m உயரததிறகு தூக்குகி்றறார.

(a) பளுதூக்குபேரறால் ச�யயபபடட வேலல என்ன?

(b) புவியீரபபு வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல என்ன?

(c) சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட நி்கர வேலல என்ன?

தீரவு (a) பளுதூக்குபேர நில்றலயத தூக்கும்வபறாது

வில�யும் இடபசபயரச்சியும் ஒவர தில�யில் உள்ளதறால் அேறறிறகிலடவய உள்ள வ்கறாணம் θ = 0°. எனவே பளுதூக்குபேரறால் ச�யயபபடட வேலல

Wப.தூ = Fwhcos θ = Fwh(cos 0°)

= 5000 × 5 × (1) = 25000 J = 25 kJ

(b) பளுதூக்குபேர நில்றலயத தூக்கும்வபறாது புவியீரபபுவில� கீழ்வநறாக்கி ச�யல்படுேதறால் வில�யும் இடபசபயரச்சியும் எதிசரதிர தில�யில் உள்ளன. எனவே அேறறிறகிலடவய உள்ள வ்கறாணம் 1800.

Wஈ = _F_g_h_cos θ = mgh(cos 180°)

= 250 × 10 × 5 × (- 1)

= - 12500 J = -12.5 kJ

(c) சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட நி்கர வேலல (சமறாதத வேலல)

Wநிகரம் = Wப.தூ + Wஈ = 25 kJ - 12.5 kJ = +12.5 kJ

மோறு்படும் விலையினோல்  கைய்யப்பட்ட நவலல

மறாறுபடும் வில� (F ) ஒன்றின் கூறு ஒரு சபறாருளின் மீது ச�யல்படும்வபறாது dr என்்ற சிறு இடபசபயரச்சிலய ஏறபடுதத வில�யினறால் ச�யயபபடட சிறு வேலல (dW) க்்கறான சதறாடரபு

dW F cos dr   [F cos θ என்பது F என்்ற

மறாறும் வில�யின் கூறு ஆகும்]

இஙகு, F மறறும் θ ஆகியலே மறாறி்கள ஆகும். சதறாடக்்க நிலல ri முதல் இறுதிநிலல rf ேலர இடபசபயரச்சி ஏறபடுதத ச�யயபபடட சமறாதத வேலல

W r

r

r

r

i

f

i

f

  dW F cos dr (4.6)

மறாறுபடும் வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல படம் 4.6 இல் ேலரபடம் மூலம் ்கறாணபிக்்கபபடடுள்ளது. ேலரபடததின் கீழ் உள்ள பரபபு மறாறும் வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலலலயக் குறிக்கி்றது.

(b) ப´¾Ô¤பேர €லLலயத ¾Ô¤ÝவபT« ®Ššரப®Šல� ŽâவநTÔx ச�யàப©ேதTà Šல�°Ý இடபசபயரÖz°Ý எசரர ல�„à  180 .உளNன. எனவே அேற†றxலடவய உளN வ>TணÝ W = F hcos θ0 = mgh(cos 180°)= 250 × 10 × 5 × (- 1) = - 12500 J = -12.5 kJஈ g(c) சபT±ˆå ™« ச�யயபபடட €>ர வேலல(சமTதத வேலல)W = W + W= 25 kJ - 12.5 kJ = +12.5 kJ நிகரம் ப.் ஈ

(c)®ŠšஆறLலஇ« எ†யபஆறLà ேÛஆறLல(த	WWŽâŽâ	= Fdr cos 0°[cos 0° = 2 ×10 × 5× (1) = 100J   ¯µ பயணதநTÔxய மற²Ý Žâ வநTÔxய ® Šல�„னTà ச�யயபபட= W + W= -100J + 100J = 0சமTததÝ வமà ŽâŠல�யTன« சபT±ˆற¤ மTறLŠàலலL«. சபT±ள வமàவபT« ®LÔ>Tர~>NTà சபTஅˆÔ>பப©xL«. சபT±ள„à வமT«ÝவபT« சபT±®Šபபரப‚ற¤ மTறLபள ச�àxL«)	= 1]
åவபT« இயÔ>Ý) ட சமTதத
சபT±ˆå (வமàவ®ŠšரபவேலலWரப® ல°Ý ¤†Ôxப©Ýவ« தலரTன« லர„­

| எáŠத எåபலதநTÔx ±´Ô¤ ±Ýபள சபறL ப©xL« |

எடுத்துககோட்டு 4.6 சதறாடக்்கததில் ஓயவில் உள்ள ஒரு சபறாருளின் மீது F = kx2 என்்ற மறாறும் வில� ச�யல்படுகி்றது. சபறாரு்ளறானது x = 0 m முதல் x = 4 m ேலர இடபசபயரச்சி அலடய வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலலலயக் ்கணக்கிடு்க. (மறாறிலி k = 1 N m-2 எனக்்கருது்க) தீரவு ச�யயபபடட வேலல

W F d k d = ( ) = =∫ ∫ x

x

i

f

x x x x 0

4 2 64

3 N m

்படம் 4.6. மறாறுபடும் வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல

ri rf r

ri rf r

F c

os θ

F c

os θ

ஆற்றல் (ENERGY)

ஆற்றல் என்பது வேலல ச�யயும் தி்றலமவய ஆகும். அதறாேது, ச�யயபபடட வேலல என்பது ஆற்றலின் ச�யல்பறாவட ஆகும். அதனறால் தறான் வேலல மறறும் ஆற்றல் இரணடும் ஒவர பரிமறாணதலதக் ச்கறாணடுள்ளன (ML2 T-2).

_  நவலல **⇔ ** ஆற்றல்_

ஆற்றலின் முக்கியமறான அம்�ம் யறாசதனில் ஒரு தனிதத அலமபபிறகு அலனதது ேல்க ஆற்றல்்களின் கூடுதல், அதறாேது சமறாதத ஆற்றலறானது எ்நதச் ச�யல்பறாடடிலும் எவ்ேல்கயறான அ்கமறாற்றங்கள ஏறபடடறாலும் மறா்றறாமல் இருக்கும். இதன் சபறாரு்ளறானது ஒரு ேடிவில் மல்றயும் ஆற்றல் மறச்றறாரு ேடிவில் சேளிபபடும். இதுவே ஆற்றல் மறா்றறா விதி எனபபடும். இபபறாடபபகுதியில் நறாம் இய்நதிர ஆற்றல் பறறி மடடும் ்கறவபறாம்.

இய்நதிர ஆற்றல் இரு ேல்கபபடும்.

1. இயக்்க ஆற்றல் 2. நிலல ஆற்றல் ஒரு சபறாருள தனது இயக்்கததினறால் ச்கறாணடுள்ள ஆற்றல் இயக்்க ஆற்றல் எனபபடும். ஒரு சபறாருள தனது நிலலபபறாடடினறால் ச்கறாணடுள்ள ஆற்றல் நிலல ஆற்றல் ஆகும்.

ஆற்றலின் SI அல்கறானது ச�யயபபடட வேலலயின் அலவ்க ஆகும். அதறாேது N m (அல்லது) ஜுல் (J). ஆற்றலின் பரிமறாணம், ச�யயபபடட வேலலயின் பரிமறாணவம ஆகும். அதன் பரிமறாணம் [ML2T-2] ஆகும். ஆற்றலின் வேறு அலகு்கள மறறும் அேறறின் SI மதிபபு்கள அடடேலண 4.2 இல் ்கறாணபிக்்கபபடடுள்ளன.

அட்டவலண 4.2. ஆற்றலின் மற்ற அலகு்களுக்குச் �மமறான SI மதிபபு்கள

அலகு இலணயறான ஜுல் மதிபபு்கள

1 எரக் (CGS அலகு) 10-7 J

1 எலக்டரறான் வேறால்ட (eV) 1.6x1 0-19 J

1 ்கவலறாரி (cal) 4.186 J

1 கிவலறாேறாட மணி (kW h) 3.6x106 J

|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|

|——|——|——|

எ©Ú« க கோ Ø©   4.6சதTட Ô>த à ஓயŠà உளN ஒ± சபT ±ˆå ™« F = kx எåL மT²Ý Šல� ச�யàப ©xL«. சபT ±NTன« x = 0 m ¯தà x = 4 m ேலரஇடப சப ∫∫யரÖz 2 அலட ய Šல�„னTà ச�யயபப டடவேலலலயÔ >ணÔx©>. (மT†‡ k = 1 N mஎன•ர¶ Ô>±«>)-2()ச�யயபப டட வேலல64WF= xxdk == xxd3 N mx 4f 2x 0i

இ்யகக ஆற்றல் [Kinetic Energy]

இயக்்க ஆற்றல் என்பது ஒரு சபறாருள அதன் இயக்்கததறால் சபறறுள்ள ஆற்றலறாகும். அலனதது இயஙகும் சபறாருட்களும் இயக்்க ஆற்றலலக் ச்கறாணடுள்ளன. இயக்்கததில் உள்ள ஒரு சபறாருள வேலல ச�யேதற்கறான தி்றலமலயப சபறறிருக்கும். உதறாரணமறா்க, ஒரு ஆணியின் மீது ஓயவு நிலலயில் லேக்்கபபடட ஒரு சுததியல் ஆணிலய மரததினுள ச�லுததறாது. அவத�மயம் படம் 4.7 இல் ்கறாடடியேறாறு அ்நத சுததியலறால் ஆணிலய அடிக்கும்வபறாது அது ஆணிலய மரததினுள ச�லுததுகி்றது. ஒரு சபறாருள இயஙகும்வபறாது, இயக்்கததிற்கறா்க ச�யயபபடும் வேலலயின் அ்ளேறா்க இயக்்க ஆற்றல் அ்ளவிடபபடுகி்றது. இயஙகும் சபறாருளின் இயக்்கததிற்கறா்க ச�யயபபடட வேலலயின் அ்ளேறானது சபறாருளின் நில்ற மறறும் தில�வே்கததின் எணமதிபபு ஆகியேறல்றச் �றார்நதது. இயக்்கததில் இல்லறாத ஒரு சபறாருள இயக்்க ஆற்றலலக் ச்கறாணடிருக்்கறாது.

நவலல-இ்யகக ஆற்றல்  ந்தற்றம்

வேலலயும் ஆற்றலும் �மமறானலே. இது இயக்்க ஆற்றலுக்கும் சபறாரு்நதும். இதலன நிரூபிக்்க m நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள உரறாயேற்ற கிலடதத்ளப பரபபில் ஓயவில் இருபபதறா்கக் ்கருதுவேறாம்

(F) என்்ற மறா்றறா வில�யினறால் அவத தில�யில் (s) என்்ற இடபசபயரச்சிலய ஏறபடுதத ச�யயபபடட வேலல

W Fs= (4.7)

மறா்றறாத வில�க்்கறான �மன்பறாடு,

F ma= (4.8)

்படம் 4.7 இயக்்க ஆற்றலுக்்கறான ்கறாடசி வி்ளக்்க

மூன்்றறாேது இயக்்கச் �மன்பறாடலட (பகுதி 2.10.3 ஐக் ்கறாண்க) இவ்ேறாறு எழுதலறாம்.

v u as

a v u

2 2

2 2

2

2

 

  s

a இன் மதிபலப �மன்பறாடு 4.8 இல் பிரதியிட

F m v u 



 



 

2 2

2_s (4.9)_

�மன்பறாடு 4.9 ஐ 4.7 இல் பிரதியிட,

W m v s m u s

s

W mv mu

=  

 

−  

 

= −

2 2

2 2

2 2 1 2

1 2

s

(4.10)

இ்யகக ஆற்றலுககோன நகோலவ :

வமற்கணட �மன்பறாடடில் 1 2

2mv  

   என்பது

(v) தில�வே்கததில் இயஙகும் (m) நில்றயுள்ள சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றலலக் குறிக்கும்.

KE mv= 1 2

2 (4.11)

சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றல் எபசபறாழுதும் வநரக்குறி மதிபபுலடயதறாகும். �மன்பறாடு (4.10) மறறும் (4.11) இல் இரு்நது

  KE mv mu1 2

1 2

2 2 (4.12)

எனவே W = D_KE_

ம்

�மன்பறாடு 4.12 இல் ேலது பக்்கததில் உள்ள வ்கறாலே சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றல் மறாறுபறாடு (∆KE) ஆகும். சபறாருளின் மீது வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றலல மறாறறுகி்றது என்பலத இது குறிக்கி்றது. இதுவே வேலல - இயக்்க ஆற்றல் வதற்றம் எனபபடும். வேலல - இயக்்க ஆற்றல் வதற்றமறானது கீழ்க்்கறாணபேறல்ற உணரததுகி்றது.

1. சபறாருளின் மீது வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல வநரக்குறியறா்க இரு்நதறால் அதன் இயக்்க ஆற்றல் அதி்கரிக்கி்றது.

2. சபறாருளின் மீது வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல எதிரக்குறியறா்க இரு்நதறால் அதன் இயக்்க ஆற்றல் குல்றகி்றது.

3. சபறாருளின் மீது வில�யினறால் வேலல ஏதும் ச�யயபபட வில்லல எனில் அதன் இயக்்க ஆற்றல் மறா்றறாது. இது, சபறாருளின் நில்ற மறா்றறாதவபறாது வில�யினறால் சபறாரு்ளறானது மறா்றறா வே்கததில் இயஙகியது என்பலதக் குறிக்கி்றது.

உந்தம் மறறும் இ்யகக ஆற்றல்  இலடந்ய உள்்ள க்தோடரபு

m நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள v என்்ற தில�வே்கததில் இயஙகுேதறா்கக் ்கருதுவேறாம். அதன் வநரவ்கறாடடு உ்நதம் p = m

v மறறும் அதன் இயக்்க ஆற்றல்,

KE mv= 1 2

2

KE mv m= = ( )1 2

1 2

2  v v. (4.13)

�மன்பறாடு 4.13 இன் சதறாகுதி மறறும் பகுதிலய நில்ற m ஆல் சபருக்்க

KE m

= ( )1 2

2  v v m

.

= 1 2

m 

 

v mv m

p mv( ) ( ) = .

[ ]

= 1 2

 p p m .

= p2

2m

KE = p2

2m (4.14)

இஙகு p என்பது உ்நதததின் எண மதிபபறாகும். வநரவ்கறாடடு உ்நதததின் எண மதிபலப இவ்ேறாறு சப்றலறாம்.

p = p m= 2 KE)( (4.15)

இயக்்க ஆற்றல் மறறும் நில்ற ச்கறாடுக்்கபபடடறால் உ்நதததின் எண மதிபலப மடடுவம ்கணக்கிட இயலும். ஆனறால் உ்நதததின் தில�லயக் ்கணக்கிட இயலறாது என்பலத அறியவும். ஏசனன்்றறால் இயக்்க ஆற்றல் மறறும் நில்ற ஆகியலே ஸ்வ்கலர அ்ளவு்க்ளறாகும்.

எடுத்துககோட்டு 4.7 2 kg மறறும் 4 kg நில்ற ச்கறாணட இரு சபறாருள்கள 20 kg m s-1 என்்ற �ம உ்நதததுடன் இயஙகுகின்்றன. (a) அலே �ம இயக்்க ஆற்றலலப சபறறிருக்குமறா?

(b) அலே �ம வே்கதலதப சபறறிருக்குமறா?

தீரவு (a) சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றல்

KE p m

= 2

2 2 kg நில்றயுள்ள சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றல்

KE J1

220 2 2

400 4

100= ( ) ×

= =

4 kg நில்றயுள்ள சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றல்

_KE J_2

220 2 4

400 8

50  

  

KE
ங¤	p

|——|——| | p |

_KE KE_1 2≠ என அறியவும். அதறாேது இருசபறாருட்களும் �ம உ்நததலதப சபறறிரு்நதறாலும் அேறறின் இயக்்க ஆற்றல் �மமல்ல. ்கனமறான சபறாருள இவல�றான சபறாருல்ள விட குல்றேறான இயக்்க ஆற்றலலப சபறறுள்ளது. ஏசனன்்றறால் ச்கறாடுக்்கபபடட உ்நதததிறகு இயக்்க ஆற்றலறானது நில்றக்கு எதிர விகிதததில் உள்ளது (KE

m ∝

1 )

(b) உ்நதம் p = mv என்பதறால் இரு சபறாருட்களும் �ம வே்கதலதப சபறறிருக்்கறாது.

நிலல ஆற்றல் [Potential Energy]

ஒரு சபறாருளின் நிலல ஆற்றல் என்பது சுறறுபபு்றதலதப சபறாறுதது அதன் நிலல மறறும் அலமபலபச் �றார்நதது. ஏசனன்்றறால் சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் பல்வேறு வில�்களும் அதன் நிலல மறறும் அலமபலபச் �றார்நதவத. P என்்ற புளளியில் உள்ள ஒரு சபறாருளின் நிலல ஆற்றல் என்பது அபசபறாருல்ள ஒரு சதறாடக்்கநிலலப புளளி O (சதறாடக்்க நிலல) முதல் புளளி P (இறுதிநிலல) ேலர மறா்றறா தில�வே்கததில் ந்கரதத பு்றவில�யறால் ச�யயபபடட வேலலயின் அ்ளவு என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது. O என்்ற சதறாடக்்கப புளளியில் நிலல ஆற்றலல சுழி என எடுததுக் ச்கறாள்ளலறாம்.

்கணிதவியலின்படி, நிலல ஆற்றல்

_U F dra_  

. (4.16) இஙகு சதறால்கயீடடின் எல்லல(limit) சதறாடக்்கநிலலபபுளளி O முதல் இறுதி நிலலபபுளளி P ேலர அலமயும். நிலல ஆற்றல் பல ேல்கபபடும். ஒவ்சேறாரு ேல்கயும் ஒரு குறிபபிடட வில�யுடன் சதறாடரபுலடயது. உதறாரணமறா்க (i) புவிஈரபபு வில�யினறால் சபறாருள சபறறுள்ள

ஆற்றலறானது ஈரபபு அழுதத ஆற்றல் ஆகும். (ii) சுருளவில் வில� மறறும் இதுவபறான்்ற ஒதத

வில�்களினறால் சப்றபபடும் ஆற்றலறானது மீடசியழுதத ஆற்றல் ஆகும்.

(iii) நிலல மின்னியல் வில�யறால் சப்றபபடும் ஆற்றல் மின்னழுதத ஆற்றல் ஆகும்.

ஆற்றல் மறாற்றறா வில�்கல்ளப பறறி பறாடபபகுதி 4.2.7 இல் வமலும் விரிேறா்கக் ்கறாணலறாம். தறவபறாது நறாம் ஈரபபு அழுதத ஆற்றல் மறறும் மீடசியழுதத ஆற்றல் பறறி விரிேறா்க விேறாதிக்்கலறாம்.

புவிப்பரபபிறகு அருகில் நிலல  ஆற்றல்

புவியிலிரு்நது h உயரததில் ஈரபபு அழுதத ஆற்றல் (U) என்பது சபறாருல்ள தலரயிலிரு்நது h உயரததிறகு மறா்றறா தில�வே்கததில் ச்கறாணடு ச�ல்லத வதலேயறான வேலலயின் அ்ளவுக்குச் �மமறாகும். படம் 4.8 இல் (m) நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள தலரயிலிரு்நது h உயரததிறகு புவியீரபபு வில�க்கு எதிரறா்க ந்கரததபபடுேதறா்கக் ்கருதுவேறாம்.

்படம் 4.8 ஈரபபு அழுதத ஆற்றல்

h

P

0

சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் புவிஈரபபு வில� ( 

Fg ) ஆனது m ˆ= −

 gF g j (வில�யறானது y

தில�யில் உள்ளதறால் அலகு சேக்டர ĵ இஙகு பயன்படுததபபடுகி்றது). இஙகு எதிரக்குறியறானது வில� ச�ஙகுததறா்க கீழ்வநறாக்கி ச�யல்படுேலதக் குறிக்கி்றது. சபறாருல்ள முடுக்்கம் இன்றி (மறா்றறா தில�வே்கததுடன்) ந்கரதத, புவிஈரபபு வில� (



Fg ) க்கு �மமறான எண மதிபலபயும் எதிரதில�லயயும் ச்கறாணட (



Fa) என்்ற பு்றவில� ஒன்று சபறாருளின் மீது ச�யல்படுததபட வேணடும். அதறாேது (

 

F Fa g  ). இது m ˆ= +

 aF g j என்பலதக் குறிக்கி்றது.

வநரக்குறியறானது ச�யல்படுததபபடட வில� வமல்வநறாக்கி ச�ஙகுததறா்க உள்ளது என்பலதக் குறிக்கி்றது. எனசே சபறாருள வமல்வநறாக்கி

உயரததபபடும்வபறாது அதன் தில�வே்கம் மறா்றறாமல் இருக்கும், அதனறால் அதன் இயக்்க ஆற்றலும் மறா்றறாது. ‘h’ உயரததில் ஈரபபு அழுதத ஆற்றல் (U) என்பது சபறாருல்ள தலரயிலிரு்நது (h) உயரததிறகு ச்கறாணடு ச�ல்லத வதலேயறான வேலலயின் அ்ளேறாகும்.

U F dr ‚ h

a   





_F dra_ . cos 0

θ (4.17)

இடபசபயரச்சியும் ச�யல்படுததபபடட வில�யும் அவத வமல்வநறாக்கிய தில�யில் உள்ளதறால் அேறறிறகிலடவய உள்ள வ்கறாணம்,  0 . எனவே cos0 10 = மறறும்



F mga = , dr dr

=

U mg dr h

  0

(4.18)

U mg r h    

0 mgh (4.19)

சபறாருளில் வ�மிக்்கபபடடுள்ள நிலலயறாற்றலறானது பு்றவில�யினறால் ச�யயபபடட வநரக்குறி மதிபபுள்ள வேலலயின் மூலம் ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது என்பலத அறியவும். இயல்பறா்க இது குறிபபது யறாசதனில் பு்றவில�லயச் ச�யல்படுததும் அலமபபு சபறாருளுக்கு ஆற்றலல மறாறறுகி்றது மறறும் அது நிலலயறாற்றலறா்கச் வ�மிக்்கபபடுகி்றது. சபறாரு்ளறானது h உயரததிலிரு்நது விழு்நதறால் வ�மிக்்கபபடடுள்ள நிலலயறாற்றல் இயக்்க ஆற்றலறா்க மறாற்றபபடுகி்றது.

கை்யல்்படுத்்தப்படும்  பு்றவிலைககு  ைரி்யோக  எதிரதிலையில் மறக்றோரு விலை கை்யல்்பட்டோல்  இது  ைோத்தி்யநம.  அலவ  இரண்டும்  ைமமோன  எண்மதிபல்பக  ககோண்டு,  ஒன்றுகககோன்று  எதிர  திலையில்  கை்யல்்படுவ்தோல்,  க்போருளின்  மீது கை்யல்்படும் நிகரவிலை சுழி்யோகும். எனநவ  க்போரு்ளோனது சுழி முடுககத்துடன் இ்யஙகும்.

குறிபபு **_   ஒரு க்போருளின் மீது பு்றவிலை  கை்யல்்படும்ந்போது அபக்போருள்  எவவோறு சுழி முடுககத்துடன் (மோ்றோ  திலைநவகத்தில்) இ்யஙகும்?_**

எடுத்துககோட்டு 4.8 2 kg நில்றயுள்ள சபறாருள தலரயிலிரு்நது 5 m உயரததிறகுக் ச்கறாணடு ச�ல்லபபடுகி்றது (g = 10 m s-2) எனில் a) சபறாருளினுள வ�மிக்்கபபடடுள்ள நிலலயறாற்றல்

யறாது? b) இ்நத நிலலயறாற்றல் எஙகிரு்நது கிலடததது? c) சபறாருல்ள அ்நத உயரததிறகு எடுததுச் ச�ல்ல

எவ்ே்ளவு பு்றவில� ச�யல்படவேணடும்? d) சபறாரு்ளறானது ‘h’ உயரததிறகு எடுததுச்

ச�ல்லபபடும் வபறாது அதன் மீது ச�யல்படும் நி்கர வில� யறாது?

தீரவு: a) நிலலயறாற்றல் U = m g h = 2 × 10 × 5 = 100 J

இஙகு வநரக்குறியறானது சபறாருளினுள ஆற்றல் வ�மிக்்கபபடடுள்ளலதக் குறிக்கி்றது.

b) இ்நத நிலலயறாற்றலறானது, பு்ற வில�லய ச�யல்படுததும் சேளிபபு்ற அலமபபிலிரு்நது சபறாருளுக்கு மறாற்றபபடடுள்ளது .

c) சபறாருல்ள 5 m உயரததிறகு எடுததுச் ச�ல்ல ச�யல்படுததபபடட பு்ற வில� (



Fa) ஆனது  

F Fa g 

**_   �ோம்  நிலல்யோற்றலல  வலர்யல்ற  கையயும்ந்போது  க்போரு்ளோனது  ஏன்  மோ்றோ  திலைநவகத்தில் �கரத்்தப்பட நவண்டும்? க்போரு்ளோனது  மோ்றோ  திலைநவகத்தில்  �கரவில்லல  என்்றோல்  அது  க்தோடகக  மறறும்  இறுதி  நிலலகளில்  மோறு்பட்ட  திலைநவகஙகல்ளக  ககோண்டிருககும்.  நவலல  –  இ்யகக  ஆற்றல்  ந்தற்றப்படி  பு்றவிலை்யோனது  கூடு்தலோக  இ்யகக  ஆற்றலலச்  கைலுத்தும்.  ஆனோல்  �ோம்  நிலல்யோற்றலல  புவியீரபபு  விலை,  சுருள்வில்  விலை  மறறும்  கூலும்  விலை  ந்போன்்ற  விலைகளுககு  வலர்யறுத்துள்ந்ளோம்.  எனநவ  க்போருல்ள  க்தோடகக நிலல மு்தல் இறுதிநிலல வலர  �கரத்தும்ந்போது  பு்ற  அலமபபு  (பு்ற  விலை)  எந்த இ்யகக ஆற்றலலயும் கைலுத்்தககூடோது._**

  F mg j mg ja = − −( ) =

j ஆனது ச�ஙகுததறா்க வமல்வநறாக்கிய தில�யில் ச�யல்படும் ஓரலகு சேக்டர ஆகும்.

d) நிலலயறாற்றலின் ேலரயல்றயில் இரு்நது, சபறாரு்ளறானது மறா்றறாத தில�வே்கததில் ந்கரததபபட வேணடும். எனவே, சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் நி்கர வில� சுழி ஆகும்.

 

_F Fg a_  0

மீட்சி நிலல ஆற்றல் [Elastic  Potential Energy]

ஒரு சுருளவில் நீடசியலடயச் ச�யயபபடடறால் அதனுள ஒரு மீளவில� உருேறாகி்றது. சுருளவில்லல நீடசிக்்கக்கூடிய அல்லது அமுக்்கக்கூடிய வில�யினறால் சுருளவில் சபறறுள்ள நிலல ஆற்றல் மீடசி நிலல ஆற்றல் எனபபடும். மீள வில�க்கு எதிரறா்கச் ச�யல்படுததபபடட வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல சுருளவில்லில் மீடசி நிலல ஆற்றலறா்கச் வ�மிக்்கபபடுகி்றது.

ஒரு சுருளவில் – நில்ற அலமபலபக் ்கருது்க. படம் 4.9 இல் ்கறாடடியேறாறு உரறாயேற்ற கிலடதத்ள

Fa

Fs

Fs

x

x

x

x = 0

x

x x = 0

Fa

்படம் 4.9 சுருளவில்லின் நிலல ஆற்றல் (மீடசி நிலல ஆற்றல்)

வமல�யில் m என்்ற நில்ற லேக்்கபபடடுள்ளதறா்க ்கருதுவேறாம்.

இஙகு x = 0 என்பது �மநிலலப புளளி ஆகும். சுருளவில்லின் ஒரு முலன ஒரு திடமறான சுேரிலும் மறுமுலன நில்றயுடனும் இலணக்்கபபடடுள்ளது.

சுருளவில்லறானது �மநிலலயில் இருக்கும் ேலர அதன் நிலல ஆற்றல் சுழியறாகும். தறவபறாது ஒரு பு்றவில� (



F a) சுருளவில் நில்ற மீது ச�யல்படுததபபடடு வில�யின் தில�யில் (x) சதறாலலவு நீடசியலடகி்றது

சுருளவில் வில� ( 

F s) என்்றலைக்்கபபடும் ஒரு மீளவில� சுருளவில்லில் உருேறாகி நில்றலய அதன் சதறாடக்்க நிலலக்குக் ச்கறாணடுேர முயலுகி்றது. ச�யல்படுததபபடட வில� மறறும் சுருளவில் வில� ஆகியலே எணமதிபபில் �மமறா்கவும் எதிசரதிர தில�யிலும் உள்ளன. அதறாேது (

 

F Fa s  ). ஹுக் விதியின் படி, சுருளவில்லில் உருேறாகும் மீளவில� ,



F ks   x (4.20)

வமற்கணட �மன்பறாடடில் உள்ள எதிரக்குறியறானது சுருளவில்வில� எபவபறாதும் இடபசபயரச்சி ( _x ) க்கு எதிரததில�யில் உள்ளது என்பலதக் குறிக்கி்றது மறறும் k என்பது வில� மறாறிலி ஆகும். எனவே ச�யல்படுததபபடட வில�_



Fa = + k _x . வநரக்குறியறானது ச�யல்படுததபபடட வில� இடபசபயரச்சியின் தில�யில் உள்ளது என்பலதக் குறிக்கி்றது. சுருளவில் வில� இடபசபயரச்சி x ஐ �றார்நதிருபபதறால் இது மறாறும் வில�க்கு ஒரு எடுததுக்்கறாடடறாகும். சுருளவில் dx என்்ற சிறு சதறாலலவுக்கு நீடசியலடேதறா்கக் ்கருதுவேறாம். சுருளவில்லின் மீது ச�யல்படுததபபடட வில�யினறால்_ _x இடபசபயரச்சி அலடேதறகு ச�யயபபடட வேலல மீடசி நிலல ஆற்றலறா்க வ�மிக்்கபபடுகி்றது._

U F dr

dx

x

a= =

=

∫ ∫

∫







_F dr_

F

a

x

a

. cos

cos

0

0

θ

θ (4.21)

d)	Fma	( )=− − gj = mg jச�ங¤த தT> வமàவநTÔxய ©Ý ஓரல¤ சேÔடர ஆ¤Ý.TறL‡å ேலரயலL„à ன« மTLTத ல�வேப ட வேண©Ý. எனவே, சபTàப©Ý €>ர Šல� ¦‰ ஆ¤Ý.FF 0ga
ல�„à இ±Û«, >த à ±ˆå
j ஆன« ச�யàப €லலயசபT ±NTந>ரதத ப™« ச�ய

ச�யல்படுததபபடட வில� 

Fa மறறும் இடபசபயரச்சி dr (அதறாேது இஙகு dx) ஆகியலே ஒவர தில�யில் உள்ளன. சதறாடக்்க நிலலலயச் �மநிலல அல்லது நடுநிலலயறா்க எடுததுக்ச்கறாணடறால் x = 0 என்பது சதறால்கயீடடின் கீழ் எல்லலயறா்க உள்ளது.

U k

x

= ∫ 0

_x x_d (4.22)

U k= 

 



 

_x x_2

0 2

(4.23)

U = 1 2

2_kx (4.24)_

சதறாடக்்கநிலல சுழியில்லல எனில் நில்றயறானது நிலல xi முதல் xf ேலர ந்கரததபபடடறால் மீடசி நிலல ஆற்றல்

U k f i= −( )1 2

2 2_x x (4.25)_

�மன்பறாடு (4.24) மறறும் (4.25) மூலம் அறிேது யறாசதனில் நீடடபபடட சுருளவில்லின் நிலல ஆற்றலறானது வில� மறாறிலி k மறறும் நீடசி அல்லது அமுக்்கம் x ஆகியேறல்றச் �றார்நதது.

சுருளவில்லினுள வ�மிக்்கப- படடுள்ள நிலல ஆற்றலறானது சுருளவில்லுடன் இலணக்்கப-

படடுள்ள நில்றலயச் �றார்நததல்ல.

குறிபபு

சுருள் வில்லின் விலை – இடபக்ப்யரச்சி  வலர்படம் வில�யும் இடபசபயரச்சியும் F = - kx என்்ற வநரவிகிதத சதறாடரபில் உள்ளதறாலும் மறறும் அலே எதிசரதிர தில�யில் இருபபதறாலும் F மறறும் x இலடவய உள்ள ேலரபடமறானது படம் 4.10 ல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு இரணடு மறறும் நறான்்கறாேது ்கறால்பகுதியில் மடடுவம அலம்நத வநர வ்கறாடறா்க உள்ளது. ஒரு F – x ேலரபடம் ேலரேதன் மூலம் மீடசி நிலல ஆற்றலல எளிதறா்கக் ்கணக்கிடலறாம்.

நிைலிடபபடட பரபபு (முக்வ்கறாணம்) சுருளவில் வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல ஆகும்.

பரபபு = 1

2 (அடிபபக்்கம்) (உயரம்) = 1

2 × (x) × (kx)

= 1

2 _kx_2

்படம் 4.10 சுருள வில்லின் வில� - இடபசபயரச்சி ேலரபடம்

சுருள்வில்லின் நிலல ஆற்றல் – இடபக்ப்யரச்சி  வலர்படம் ஒரு அமுக்்கபபடட அல்லது நீடடபபடட சுருளவில் தன்னுள வ�மிக்்கபபடட நிலல ஆற்றலல அதனுடன் இலணக்்கபபடட நில்றயின் இயக்்க ஆற்றலறா்க மறாறறுகி்றது. நிலல ஆற்றல் – இடபசபயரச்சி ேலரபடமறானது படம் 4.11 இல் ்கறாடடபபடடுள்ளது.

்படம் 4.11 சுருளவில் – நில்ற அலமபபின் நிலல ஆற்றல் – இடபசபயரச்சி ேலரபடம்.

|——|

உரறாயேற்ற சூைலில், ஆற்றலறானது அலமபபின் சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாதேறாறு இயக்்க ஆற்றலில் இரு்நது நிலல ஆற்றலறா்கவும் மறறும் நிலல ஆற்றலில் இரு்நது இயக்்க ஆற்றலறா்கவும் மீணடும் மீணடும் மறாற்றமலடகி்றது. �மநிலலயில்,

DKE = DU (4.26)

எடுத்துககோட்டு 4.9 இரு சுருளவில்்கள A மறறும் B யின் சுருளமறாறிலி்கள kA > kB என்்றேறாறு உள்ளன. அலே �ம வில�்க்ளறால் நீடசியலடயச் ச�யயபபடடறால் எ்நத சுருளவில்லின் மீது அதி்க வேலல ச�யயபபட வேணடும்? தீரவு

BBAA xkxkF ==

; A

A k Fx =

B B k

Fx =

சுருளவில்்கள மீது ச�யயபபடட வேலல சுருளவில்்களில் நிலல ஆற்றலறா்க வ�மிக்்கபபடுகி்றது.

_U_A = 1 2

2_k xA A ; U_B = 1 2

2_k xB B_

U U

k x k x

k F k

k F k

k

k

U U

k k

A

B

A A

B B

A A

B B

A

B

A

B

B

A

 



 



 



 



 





2

2

2

2

1

1

kA>kB குறிபபது UB>UA ஆகும். எனவே A – லே விட B - இன் மீது அதி்க வேலல ச�யயபபட வேணடும்.

எடுத்துககோட்டு 4. 10 m நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள சுருளவில்லுடன் இலணக்்கபபடடு, ச�யல்படுததபபடும் வில�யினறால் அது நடுநிலலயில் இரு்நது 25 cm அ்ளவிறகு நீடசியலடகி்றது. (a) சுருளவில் – நில்ற அலமபபில் வ�மிக்்கபபடட

நிலல ஆற்றலலக் ்கணக்கிடு்க.

(b) இ்நத நீடசியில் சுருளவில் வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல யறாது?

(c) சுருளவில்லறானது அவத 25 cm அ்ளவிறகு அமுக்்கபபடடறால் வ�மிக்்கபபடும் நிலல ஆற்றல் மறறும் அமுக்்கததின்வபறாது சுருளவில் வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல ஆகியேறல்றக் ்கணக்கிடு்க. (சுருளவில் மறாறிலி k = 0.1 N m-1 )

தீரவு சுருளவில் மறாறிலி k = 0.1 N m-1

இடபசபயரச்சி x = 25 cm = 0.25 m (a) சுருளவில்லில் வ�மிக்்கபபடட நிலல ஆற்றல்

U = 1 2

1 2

0 1 0 25 0 00312 2k J_x_     . . .

(b) சுருளவில் வில� 

F ஆல் ச�யயபபடட வேலல Ws மதிபபு

( )s s 0 0

W F dr ˆk i (d i)= ⋅ = − ⋅∫ ∫ 





x x

x x

சுருளவில்வில� 

Fs எதிரக்குறி x அச்சின் தில�யில் ச�யல்படுகி்றது. அவத�மயம் நீடசியறானது வநரக்குறி x அச்சின் தில�யில் ச�யல்படுகி்றது.

W k d ks = −( ) = −∫ 0

21 2

x

x x x

W Js = − × × ( ) = −1 2

0 1 0 25 0 00312. . .

சேளிபபு்ற அலமபபறால் ச�யயபபடட வேலலயின் மூலம் நிலல ஆற்றலல ேலரயறுக்்கலறாம். நிலல ஆற்றலில் உள்ள வநரக்குறி, ஆற்றலறானது

kA
F

1=2UU AUU AU BAB

எ©Ú« க கோ Ø©   4.9இ± ¦±ளŠà>ள A மற²Ý B „å ¦±ளமT†‡>ள k > k எåLேT² உளNன. அலே �ம Šல�>NTà –டzயலடயÖ ச�யயபபடடTà எÛத ¦±ளŠà‡å ™« அ>A Bவேல•ர¶ ல ச�யயபபட வேண©Ý?F = k x = k xFx = kA A x =B FkA B¦±ளŠà>ள ™« A ச�ய B யபபடட வேலல¦±ளŠà>ˆà €லல ஆறLலT>வ�ƒÔ>பப©xL«.= 1 kx = 1 kx2 2U ; U2  F  12U A kxA A k B k  BB k U kx k  F  2 k12 A  k U A kAA A A 2 2U B k BBB BBA Bk >k B¤†பப A« U >U ஆ¤Ý. எனவே A – லேŠட B - இå ™« அ> வேலல ச�யயபபட வேண©Ý.A B B A

அலமபபிலிரு்நது சபறாருளுக்கு மறாற்றபபடுேலதக் குறிக்கி்றது. ஆனறால் இ்நவநரவில் மீள வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல எதிரக்குறி மதிபபுலடயது. ஏசனன்்றறால் மீளவில�யறானது இடபசபயரச்சியின் தில�க்கு எதிரததில�யில் ச�யல்படுகி்றது.

(c) அமுக்்கததின் வபறாதும் சபறாருளில் அவத அ்ளவு நிலல ஆற்றல் வ�மிக்்கபபடுகி்றது.

U = 1 2

0 00312_kx J_= . .

அமுக்்கபபடும் வபறாது சுருளவில் மீள வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல

( ) ( )∫ ∫ −==

x

o

x

o ss idxikxrdFW ˆ.ˆ. 

அமுக்்கபபடும் வநரவில் சுருளவில் மீளவில� வநரக்குறி x அச்ல� வநறாக்கி ச�யல்படுகி்றது. மறறும் இடபசபயரச்சியறானது எதிரக்குறி x அச்சின் தில�யில் உள்ளது.

W k d k Js        0

21 2

0 0031 x

x x x .

ஆற்றல் மோற்றோ மறறும் ஆற்றல்  மோறறும் விலைகள் (Conservative force  and Non Conservative force)

ஆற்றல் மோற்றோ விலை (Conservative Force) ஒரு  க்போருல்ள  �கரத்தும்  ந்போது  விலையினோல்  அல்லது  விலைகககதிரோக  கைய்யப்பட்ட  நவலல  க்போருளின்  க்தோடகக  மறறும்  இறுதி  நிலலகல்ள  மட்டும்  ைோரநதும்,  க்போருளின்  க்தோடகக  மறறும்  இறுதி  நிலலகளுககிலடந்ய  கைன்்ற  ்போல்தயின்  இ்யல்ல்பச் ைோரோமலும் இருபபின்; அவவிலை, ஆற்றல்  மோற்றோ விலை எனப்படும்.

புவியில் A என்்ற புளளியில் உள்ள ஒரு சபறாருல்ளக் ்கருதுவேறாம். படம் 4.12இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு இதலன h உயரததில் உள்ள B என்்ற மறச்றறாரு புளளிக்கு மூன்று பறாலத்களில் எடுததுச் ச�ல்லலறாம்.

பறாலத எவ்ேறாறு இருபபினும் சதறாடக்்க மறறும் இறுதி நிலல்கள மறா்றறாமல் இருக்கும் ேலர

புவியீரபபு வில�க்ச்கதிரறா்க ச�யயபபடட வேலல மறா்றறாது. இதுவே புவியீரபபு வில�யறானது ஆற்றல் மறாற்றறா வில�யறா்க இருபபதறகு ்கறாரணமறாகும். ஆற்றல் மறாற்றறா வில� நிலல ஆற்றலின் எதிரக்குறி �றாயவுக்கு �மமறாகும்.

்படம் 4.12 ஆற்றல் மறாற்றறா வில�

A

B

ஒரு பரிமறாண வநரவில்

F dU dxx  (4.27)

மீடசி சுருளவில் வில�, நிலலமின்னியல் வில�, ்கறா்நத வில�, புவியீரபபு வில� வபறான்்றலே ஆற்றல் மறாற்றறா வில�்களுக்கு உதறாரணங்கள ஆகும்.

ஆற்றல் மோறறும் விலை (Non - Conservative  Force) ஒரு  க்போருல்ள  விலையினோல்  அல்லது  விலைகககதிரோக  �கரத்்தச்  கைய்யப்பட்ட  நவலல  க்தோடகக  மறறும்  இறுதி  நிலலகளுககிலடந்ய  உள்்ள  ்போல்தல்யச்  ைோரநதிருபபின்  அவவிலை  ஆற்றல் மோறறும் விலை எனப்படும். இதன் சபறாருள வேவ்வேறு பறாலத்களில் ச�யயபபடட வேலலயின் மதிபபு மறாறுபடும் என்பதறாகும். 1. உரறாயவு வில�்கள ஆற்றல் மறாறறும் வில�்கள

ஆகும். ஏசனன்்றறால் உரறாயவுக்கு எதிரறா்க ச�யயபபடட வேலல சபறாருள ந்கர்நத பறாலதயின் சதறாலலலேச் �றார்நதது.

2. ்கறாறறுததலடயறால் ஏறபடும் வில�, பறாகியல் வில� ஆகியலேயும் ஆற்றல் மறாறறும் வில�்கள ஆகும். இவ்வில�யறால் அல்லது

h

அலமப‚‡±Û« சபT ±´Ô¤ மTறLபப ©ேலதÔ ¤†ÔxL«. ஆனTà இÛவநரŠà ™ள Šல�ய Tà ச�யய பப டட வேலல எரÔ¤† மப®லட ய«. ஏசனåLTà ™ளŠல�ய Tன« இடப சப ய ரÖz„å ல�Ô¤ எரத ல�„à ச�ய àப ©xL«.(c) அ¯Ô>தå வபT «Ý சப T±ˆà அவத அN¶ €லல ஆறLà 1 வ�ƒÔ>பப ©xL«.∫∫ kx = 0.0031 J2U = .அ¯Ô>பப ©Ý வபT2« ¦±ளŠà ™ள Šல�ய Tà () ()ச�யய பப டட வேலல W = F .dr = kxiˆ . − dxiˆx  xs sஅ¯Ô>பப ©Ý o வநரŠà o ¦±ளŠà வநரÔ¤† x அÖல� வநTÔx ச�ய àபமற²Ý இடப சப ய ரÖzய Tன« எரÔ¤† ல�„à உளN«.1 xx dk  x 2x20

| ™ளŠல�©xL«. x அÖzå | | 0.0031 J | | Wks |

வில�க்ச்கதிரறா்க ச�யயபபடட வேலல இயக்்கததின் தில�வே்கதலதச் �றார்நதது.

ஆற்றல் மறாற்றறா மறறும் ஆற்றல் மறாறறும் வில�்களின் பணபு்கள அடடேலண 4.3இல் சதறாகுக்்கபபடடுள்ளன.

எடுத்துககோட்டு 4. 1 1 கீழ்்கணட வநரவு்களில் புவியீரபபு வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலலலயக் ்கணக்கிடு்க.

அட்டவலண 4.3 ஆற்றல் மறாற்றறா மறறும் ஆற்றல் மறாற ே.எண ஆற்றல் மறாற்றறா வில�்கள

1. ச�யயபபடட வேலல பறாலதலயச் �றார்நததல்ல 2. ஒரு சுறறில் ச�யயபபடட வேலல சுழியறாகும் 3. சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாது

4. ச�யயபபடட வேலல முழுேதும் மீட்கபப கூடியது

5. வில�யறானது நிலல ஆற்றலின் எதிரக் �றாயவுக்கு �மமறாகும்.

தீரவு வில�

  _F mg mg_= −( ) = −j j

_இடபசபயரச்சி சேக்டர dr dx dy_  = +i j

(இடபசபயரச்சி இரு பரிமறாணததில் உள்ளதறால் அலகு சேக்டர்கள î மறறும் ĵ பயன்படுததபபடுகி்றது) (a) இயக்்கமறானது ச�ஙகுததறா்க மடடும் உள்ளதறால்,

இடபசபயரச்சியின் கிலடதத்ளக்கூறு dx சுழியறாகும். எனவே பறாலத 1 இன் ேழிவய வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல (h சதறாலலவிறகு)

W F dr mg dy

mg dy mgh

A

B

A

B

h

பாைத 1 j j

0

= = −( ) ( ) = − = −

∫ ∫

∫

. .

பறாலத 2இல் ச�யயபபடட சமறாதத வேலல

W F dr F dr F dr F dr A

B

A

C

C

D

D

B

= = + +∫ ∫ ∫ ∫ 













. . . .பாைத 2

ஆனறால்

A

C

A

C

_F dr mg dx_∫ ∫= −( ) ( ) =    . .j i 0

றும் வில�்கல்ள ஒபபிடுதல் ஆற்றல் மறாறறும் வில�்கள ச�யயபபடட வேலல பறாலதலயச் �றார்நதது ஒரு சுறறில் ச�யயபபடட வேலல சுழியல்ல ஆற்றலறானது சேபப ஆற்றல், ஒளி ஆற்றலறா்க சேளிபபடுகி்றது.

டக் ச�யயபபடட வேலல முழுேதும் மீட்கபபடக் கூடியது அல்ல.

குறி அது வபறான்்ற சதறாடரபு இல்லல

C

D

C

D

h

F dr mg dy

mg dy mgh

∫ ∫

∫

= −( ) ( ) = − = −

   . .j j

0

D

B

D

B

_F dr mg dx_∫ ∫= −( ) −( ) =    . .j i 0

எனவே பறாலத 2 இன் ேழிவய வில�யினறால் ச�யயபபடட சமறாதத வேலல

W F dr mgh A

B

.பாைத 2

ஆற்றல் மறாற்றறா வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல பறாலதலயச் �றார்நததல்ல என்பலத அறியவும்.

எடுத்துககோட்டு 4. 12 2 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள இயக்்க உரறாயவுக் குண்கம் 0.9 ச்கறாணடுள்ள ஒரு பரபபில் 20 N பு்றவில�யினறால் 10 m சதறாலலவிறகு ந்கரததபபடுேதறா்கக் ்கருது்க. பு்றவில� மறறும் இயக்்க உரறாயவினறால் ச�யயபபடட வேலல என்ன? முடிலேப பறறிய ்கருதலதக் கூறு்க (g = 10 m s-2 எனக் ச்கறாள்க)

தீரவு

m = 2 kg, d = 10 m, F_ext = 20 N, m_k = 0.9 ஒரு சபறாருள கிலடமடடப பரபபில் இயஙகும்வபறாது அது இரு வில�்கல்ளப சபறுகி்றது. (a) பு்ற வில� Fext = 20 N (b) இயக்்க உரறாயவு வில�

f_k = m_k mg = 0.9 x (2) x10 = _18 N பு்றவில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல W_ext = Fd = 20 x 10 = _200 J இயக்்க உரறாயவு வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல W_k = f_k_d = (-18) × 10 = -180 J

இஙகு எதிரக்குறியறானது இயக்்க உரறாயவு வில�, இடபசபயரச்சியின் தில�க்கு எதிரறா்க உள்ளலதக் குறிக்கி்றது.

சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட சமறாதத வேலல

_W_total = _W_ext + _W_k = 200 – 180 = 20 J

உரறாயவு வில� ஒரு ஆற்றல் மறாறறும் வில� என்பதறால் பு்றவில�யறால் ச்கறாடுக்்கபபடட 200 J இல் 180 J இைக்்கபபடடது மறறும் இதலன மீடசடடுக்்க இயலறாது.

 ஆற்றல் மோ்றோ விதி (Law of  Conservation of energy)

ஒரு சபறாருல்ள நறாம் வமல்வநறாக்கி எறி்நதறால் அதன் இயக்்க ஆற்றல் குல்ற்நது ச்கறாணவட ச�ல்கி்றது மறறும் அதன் நிலல ஆற்றல் அதி்கரிததுக் ச்கறாணவட ச�ல்கி்றது (்கறாறறுத தலடலய பு்றக்்கணிக்கும்வபறாது). சபறாரு்ளறானது சபரும உயரதலத அலடயும்வபறாது ஆற்றல் முழுேதும் நிலல ஆற்றலறாகும். அதுவபறான்று சபறாரு்ளறானது சபரும உயரததில் இரு்நது விழு்நதறால் அதன் இயக்்க ஆற்றல் அதி்கரிக்கும் மறறும் நிலல ஆற்றல் குல்றயும். தலரலயத சதறாடும்வபறாது அதன் ஆற்றல் முழுேதும் இயக்்க ஆற்றலறாகும். படம் 4.13 இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு இலடபபடட புளளி்களில் ஆற்றலறானது இயக்்க ஆற்றலறா்கவும் நிலல ஆற்றலறா்கவும் இருக்கும். சபறாரு்ளறானது தலரலய அலடயும் வபறாது இயக்்க ஆற்றல் முழுேதுமறா்க ஒலி, சேபபம், ஒளி மறறும் சபறாருளின் உருக்குலலவு வபறான்்ற வேறுேல்க ஆற்றலறா்க சேளிபபடும்.

இ்நத உதறாரணததில் ஒவ்சேறாரு புளளியிலும் நிலலயறாற்றல் மறறும் இயக்்க ஆற்றல் மறாறும். எனினும், இயக்்க ஆற்றல் மறறும் நிலல ஆற்றலின் கூடுதல் அதறாேது சமறாதத இய்நதிர ஆற்றல் எபவபறாதும் மறா்றறாது. இது சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாது என்பலதக் குறிக்கி்றது. இதுவே ஆற்றல் மறா்றறா விதியறாகும்.

எனவே சஆறLà வேலஅ†ய¶Ý.	∫∫∫∫ FdD C Fd.. rmBD	( ) ( )∫.. rm =−( )gd(jj y)=−D mg dy =− mgh=− C gdji h − x = 00BTலதD 2 இ å ே‰வய Šல�சமTத த வேலல.dr mgBமTற2LT Šல�„னTà சAப TலதலயÖ �TரÛததàல
„னTà
ப�யயபப டடWFபாைத ல

| �யயபப டடஎåபலத |

்படம் 4.13 ஆற்றல் மறா்றறா நிலல

h

y

h−y

C

U = mgh, KE = 0, E = U

U≠ 0, KE ≠ 0, E = U + KE

U = 0, KE ≠ 0, E = KE

B

A

ஆற்றல்  மோ்றோ  விதியின்்படி  ஆற்றலல  ஆககநவோ  அழிககநவோ  இ்யலோது.  ஆற்றலோனது  ஒரு  வலகயிலிருநது  மறக்றோரு  வலக்யோக  மோ்றககூடி்யது. ஆனறால் ஒரு தனிதத அலமபபின் சமறாதத ஆற்றல் மறாறிலியறா்க இருக்கும்.

படம் 4.13 வி்ளக்குேது யறாசதனில், h உயரததில் ஓயவில் உள்ள ஒரு சபறாருளின் சமறாதத ஆற்றல் முழுேதும் நிலல ஆற்றல் (U = mgh) மடடுவம. வமலும் h உயரததில் அதன் இயக்்க ஆற்றல் (KE) சுழியறாகும். சபறாருள கீவை விழும்வபறாது ‘y’ சதறாலலவில் அதன் நிலலயறாற்றல் மறறும் இயக்்க ஆற்றல் சுழியறா்கறாது. அவத�மயம் h உயரததில் இரு்நத அவத அ்ளவில் சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாமல் இருக்கும். சபறாருள தலரலயத சதறாட சநருஙகும் வபறாது நிலல ஆற்றல் சுழியறாகும் மறறும் சமறாதத ஆற்றல் இயக்்க ஆற்றலறா்க மடடுவம இருக்கும்.

எடுத்துககோட்டு 4. 13 1 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள h = 10 m உயரததிலிரு்நது விழுகி்றது.

(a) h = 10 m உயரததில் சபறாருளின் சமறாதத ஆற்றல்

(b) h = 4 m உயரததில் சபறாருளின் நிலல ஆற்றல்

(c) h = 4 m உயரததில் சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றல்

(d) சபறாருள தலரயில் வமறாதும் வே்கம் ஆகியேறல்றக் ்கணக்கிடு்க.

(g = 10 m s-2 எனக் ச்கறாள்க)

தீரவு

(a) புவியீரபபு வில� ஆற்றல் மறாற்றறா வில�யறாகும். எனவே இயக்்கம் முழுேதும் சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாமல் இருக்கும். h = 10 m உயரததில் சமறாதத ஆற்றல் (E) முழுேதும் நிலல ஆற்றலறா்க இருக்கும்.

E = U = mgh = 1 × 10 × 10 = 100 J

(b) h = 4 m உயரததில் நிலல ஆற்றல்

U = mgh = 1 × 10 × 4 = 40 J

(c) இயக்்கம் முழுேதும் சமறாதத ஆற்றல் மறாறிலி என்பதறால் h = 4 m உயரததில் இயக்்க ஆற்றலறானது

KE = E - U = 100 - 40 = 60 J மறா்றறா்க 4 m உயரததில் சபறாருளின் தில�வே்கததில் இரு்நதும் இயக்்க ஆற்றலலக் ்கறாணலறாம். 6 m வீழ்்நத பி்றகு உள்ள தில�வே்கதலத இயக்்கச் �மன்பறாடடிலிரு்நது ்கணக்கிடலறாம்.

v gh    2 2 10 6 120 m s-1;

v2 120=

இயக்்க ஆற்றல் KE mv J= = × × =1 2

1 2

1 120 602

(d) சபறாருள தலரயில் வமறாதும் நிலலயில் சமறாதத ஆற்றல் முழுேதும் இயக்்க ஆற்றலறாகும். வமலும் நிலல ஆற்றல் U = 0

E KE mv J= = =1 2

1002

v m KE

1 100 m s= = × = ≈ −2 2 200 14 12 1.

EK== Em22v == KEm

(d) சபT±ள தலர„à வமT«Ý வே>Ý ஆxயேறலLÔ >ணÔx©>.(g = 10 m s எனÔ ச>Tள>)•ர¶-2 (a) ®Ššரப® Šல� ஆறLà மTறLT Šல�யT¤Ý. எனவே இயÔ>Ý ¯µே«Ý சமTத த ஆறLà மTLTமà இ±Ô¤Ý.h = 10 m உயரத à சமTத த ஆறLà (E) ¯µே«Ý €லல ஆறLலT> இ±Ô¤Ý.E = U = mgh = 1 × 10 × 10 = 100 J(b) h = 4 m உயரதà €லல ஆறLàU = mgh = 1 × 10 × 4 = 40 J(c) இயÔ>Ý ¯µே«Ý சமTத த ஆறLà மT†‡ எåபதTà h = 4 m உயரத à இயÔ>ஆறLலTன«KE = E - U = 100 - 40 = 60 Jம4 Tm LTஉ> யர தà சபT±ˆå ல�வே>தàஇ±Û«Ý இயÔ> ஆறLலலÔ >TணலTÝ. 6 m  âÛத ‚L¤ உளN ல�வே>த லத இயÔ>Ö �மåபTட}‡±Û« >ணÔxடலTÝ.vg 22h 10 6  120 m s ;v = 120-11 1KE == mv 2 ××1 120 = 60 J2 2இயÔ> ஆறLà (d) சபT±ள தலர„à வமT«Ý €லல„à சமTத த2ஆறLà ¯µே«Ý இயÔ> ஆறLலT¤Ý. வம³Ý €லல ஆறLà U = 01EK== Em vJ = 100222v == KE ×=100 200 ≈ 14.12 msm 2 1−1

எடுத்துககோட்டு 4. 14 படததில் ்கறாடடியுள்ளேறாறு 100 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள தலரயிலிரு்நது 10 m உயரததிறகு இரு மறாறுபடட ேழி்களில் தூக்்கபபடுகி்றது. இரு வநரவு்களிலும் புவியீரபபறால் ச�யயபபடட வேலல என்ன? �றாயத்ளததின் ேழியறா்க சபறாருல்ள எடுததுச் ச�ல்ேது எளிதறா்க உள்ளது ஏன்?

தீரவு

m = 100 kg, h = _10 m ்போல்த (1) இன் வழிந்ய: சபறாருல்ள 10 m உயரததிறகுத தூக்்கத வதலேயறான சிறும வில� F1 ஆனது புவியீரபபு வில�க்குச் �மமறா்க இருக்்க வேணடும். F_1 = mg = 100 × 10 = 1000 N பறாலத (1)இன் ேழிவய ந்கர்நத சதறாலலவு h = 10 m பறாலத (1)இன் ேழிவய சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட வேலல

W = Fh = 1000 × 10 = 10,000J

்போல்த (2) இன் வழிந்ய: �றாயத்ளததின் ேழிவய சபறாருல்ளக் ச்கறாணடு ச�ல்ல சபறாருளின் மீது நறாம் ச�லுததும் சிறும வில� F2 ஆனது mg-க்கு �மமறா்க இல்லல, மறா்றறா்க mg sinθ -க்கு �மமறாகும். இஙகு θ = 30°

mg sinθ = 100 × 10 × sin30° = 100 × 10 × 0.5 = 500 N

எனவே (mg sinθ < mg) �றாயத்ளப பறாலதயின் நீ்ளமறானது

l = h m sin .30

10 0 5

20 °

= =

பறாலத (2) இன் ேழிவய சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட வேலல W = F_2_l = 500 × 20 = 10,000 J புவியீரபபு வில�யறானது ஆற்றல் மறாற்றறா வில� என்பதறால் புவியீரபபறால் சபறாருளின் மீது ச�யயபபடட வேலல அதலன ச்கறாணடு ச�ன்்ற பறாலதலயச் �றார்நததல்ல. இரு பறாலத்களிலும் புவியீரபபு வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல 10,000 J ஆகும். ்போல்த  (1)  இன்  வழிந்ய: குல்றேறான சதறாலலவு ந்கரதத புவியீரபபுக்கு எதிரறா்க அதி்கமறான வில� ச�லுதத வேணடியுள்ளது. ்போல்த  (2) இன் வழிந்ய: அதி்கமறான சதறாலலவு ந்கரதத புவியீரபபுக்கு எதிரறா்க குல்றேறான வில� ச�லுதத வேணடியுள்ளது. �றாயத்ளததின் ேழிவய ச�லுததபபட வேணடிய வில� குல்றேறா்க உள்ளதறால் �றாயத்ளததின் ேழியறா்க சபறாருல்ள எடுததுச் ச�ல்ேது எளிதறா்க உள்ளது.

எடுத்துககோட்டு 4. 15 m நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள தலரயிலிரு்நது vo என்்ற சதறாடக்்க வே்கததுடன் எறியபபடுகி்றது. h உயரததில் அதன் வே்கதலதக் ்கறாண்க.

தீரவு

புவியீரபபு வில� ஆற்றல் மறாற்றறா வில� என்பதறால் இயக்்கம் முழுேதும் சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாது.

ஆற்றல் சதறாடக்்கததில் இறுதியில் இயக்்க ஆற்றல்

1 2 0

2mv 1 2

2mv

நிலல ஆற்றல்

0 mgh

சமறாதத ஆற்றல்

1 2

0 1 20

2 0 2mv mv 

1 2

2mv mgh+

h உயரததில் நிலல ஆற்றல், இயக்்க ஆற்றல் மறறும் சமறாதத ஆற்றல் ஆகியேறறின் இறுதி மதிபபு்கள ்கணக்கிடபபடடுள்ளன. ஆற்றல் மறா்றறா விதியின் படி சதறாடக்்க மறறும் இறுதி சமறாதத ஆற்றல்்கள �மமறாகும்.

1 2

1 20

2 2mv mv mgh 

v v gh0 2 2 2 

v v gh 0 2 2

பறாடபபகுதி (2.11.2) இல் இயக்்கவியல் �மன்பறாடலடப பயன்படுததி நுண்கணித முல்றபபடி இது வபறான்்ற முடிவு சப்றபபடடலத ்கேனிக்்கவும். எனினும் ஆற்றல் மறா்றறா விதியின் முல்றபபடி ்கணக்கிடுேது நுண்கணித முல்றலயவிட மி்கவும் எளிதறா்க உள்ளது.

எடுத்துககோட்டு 4. 16 ஒரு சுருளவில்லுடன் இலணக்்கபபடட 2 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள அதன் �மநிலலயிலிரு்நது x = 10 m என்்ற சதறாலலவுக்கு ந்கரததபபடுகி்றது. சுருளவில் மறாறிலி k = 1 N m-1 மறறும் பரபபு உரறாயேற்றதறா்கக் ்கருது்க.

(a) சபறாரு்ளறானது �மநிலலலயக் ்கடக்கும்வபறாது அதன் வே்கம் என்ன?

(b) சபறாரு்ளறானது �மநிலலலயக் ்கடக்கும் வபறாதும், x = ± 10 m என்்ற விளிம்பு நிலலலய ்கடக்கும்வபறாதும் சபறாருளின் மீது ச�யல்படும் வில� யறாது?

தீரவு (a) சுருளவில் வில� ஒரு ஆற்றல் மறாற்றறா வில�

ஆல்கயறால் சமறாதத ஆற்றல் மறாறிலி ஆகும். x = 10 m எனும்வபறாது சமறாதத ஆற்றல் ழுமுேதும் நிலல ஆற்றலறா்க மடடுவம இருக்கும்.

E = U = 1 2

1 2

1 10 502 2_k x_ = × ( ) × ( ) = J

சபறாருள �மநிலலலயக் ்கடக்கும்வபறாது x  0 , நிலல ஆற்றலறானது

U = 1 2

1 0 0    J

இ்நநிலலயில் முழு ஆற்றலும் இயக்்க ஆற்றலறா்க மடடுவம உள்ளது.

E KE mv= = =1 2

502 J

வே்கம்

v KE m

ms ms= = × = ≈− −2 2 50 2

50 7 071 1.

(b) சுருளவில்லின் மீளவில� F = - kx என்பதறால் சபறாரு்ளறானது நடுநிலலலயக் ்கடக்கும் வபறாது அது எவ்வில�லயயும் உணரறாது. நடுநிலலயில் சபறாரு்ளறானது மி்க வே்கமறா்க ந்கருகி்றது என்பலத அறியவும். சபறாரு்ளறானது x = + 10 m (நீடசி) என்்ற நிலலயில் உள்ளவபறாது வில� F = - kx

F = - (1) (10) = - 10 N இஙகு எதிரக்குறியறானது வில� நடுநிலலலய வநறாக்கி, அதறாேது எதிர x- அச்ல� வநறாக்கி உள்ளலதக் குறிக்கி்றது. வமலும் சபறாரு்ளறானது x = - 10 m (அமுக்்கம்) என்்ற நிலலயில் உள்ளவபறாது அது உணரும் வில� F= - (1) (-10) = + 10 N. இஙகு வநரக்குறியறானது வில� வநர x – அச்ல� வநறாக்கி உள்ளலதக் குறிக்கி்றது.

ஆறLàஇயÔ> ஆறLà€லலஆறLàசமTததஆறLàh உயரதà மற²Ý சமTமப®>ள >ஆறLà மTLTஇ² சமTத1mv2பTடபப¤ (2.11.2) பயåப©த ¯}¶ சபLஆறLà மTLT¬ண>~த உளN«.	சதTட Ô>தà	இ²„à
1mv20201 1mv 0 mv2 22 20 0	1mv2mgh21mv + mgh22

| €லல ஆறLà, இயÔ> ஆறLà தத ஆறLà ஆxயேற†å இ² ணÔxடபபட©ளNன.Š„å ப} சதTட Ô> மற²Ý த ஆறLà>ள �மமT¤Ý.1 mv mgh2vv  2gh220vv 2gh220இà 2 இயÔ>Šயà �மåபTடலடப0¬ண>~த ¯லLபப} இ« வபTåL பபடடலத >ேÔ>¶Ý. எ­Ý Š„å ¯லLபப} >ணÔx©ே« ¯லLலயŠட ƒ>¶Ý எˆதT> |

x = ± 10 m என்்ற நிலலயில் சபறாரு்ளறானது இ்நத இரு விளிம்பு புளளி்களிலும் சபரும வில�லய உணர்நதறாலும் ்கணவநர ஓயவு நிலலக்கு ேருகி்றது.

கைஙகுத்து வட்ட இ்யககம்  [Motion in a vertical circle]

m நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள நில்றயற்ற, நீடசித தன்லமயற்ற நூலின் ஒரு முலனயில் இலணக்்கபபடுகி்றது. வமலும், நூலின் மறுமுலனயறானது நிலலயறா்க இருக்குமறாறு சபறாருததபபடடுள்ளது. அ்நதபசபறாருள ச�ஙகுததுத த்ளததில் அலம்நத ேடட இயக்்கதலத வமறச்கறாளேதறா்கக் ்கருதுவேறாம். நூலின் நீ்ளமறானது ேடடபபறாலதயின் ஆரமறா்க (r) உள்ளது. (படம் 4.14) படததில் ்கறாடடியுள்ளேறாறு சபறாருளின் இயக்்கதலதப பறறி அறிய தனிதத சபறாருளின் வில�பபடம் (Free body diagram) ஒன்ல்றக் ்கருதுவேறாம். இஙகு நிலலசேக்டர (r) ஆனது ச�ஙகுததறான கீழ்வநறாக்கிய தில�யுடன் θ வ்கறாணதலத ஏறபடுததி படததில் உள்ளேறாறு உடனடி தில�வே்கதலதக் ச்கறாணடுள்ளது. சபறாருளின் மீது இரு வில�்கள ச�யல்படுகின்்றன. 1. கீழ் வநறாக்கி ச�யல்படும் புவியீரபபு வில� 2. நூலின் ேழிவய ச�யல்படும் இழுவில�

சபறாருளின் மீது நியூடடனின் இரணடறாம் விதிலயப பயன்படுதத, சதறாடுவ்கறாடடுத தில�யில்,

mg ma

mg m dv dt

tsin

sin







    

  

(4.28)

இஙகு at = - dv dt

என்பது சதறாடுவ்கறாடடுத

தில�யில் எதிர முடுக்்கம் ஆகும்.

ஆரததில�யில்,

T mg cos m a

T mg cos mv r

r− =

− =

θ

θ 2 (4.29)

இஙகு a v rr =

2

என்பது லமயவநறாக்கு முடுக்்கம் ஆகும்.

்படம் 4.14 ச�ஙகுதது ேடட இயக்்கம்

C B

D

O

r A

T r

θ

θ

v

mgcos θ

mgsinθ mg

இயக்்கதலத நன்கு புரி்நது ச்கறாளளும்ேல்கயில் ேடடதலத A, B, C, D என்்ற நறான்கு பகுதி்க்ளறா்கப பிரிக்்கலறாம். வமற்கணட இரு �மன்பறாடு்களில் இரு்நது கீழ்க்்கணடேறாறு நறான்கு முக்கிய ்கருதது்கல்ளப புரி்நது ச்கறாள்ளலறாம். (i) சபறாரு்ளறானது அலனதது θ மதிபபு்களுக்கும்

(θ = 0o தவிர) சதறாடுவ்கறாடடுத தில�யில் முடுக்்கதலத (g sin θ) ச்கறாணடிருக்கி்றது. இ்நத ச�ஙகுதது ேடட இயக்்கம் ஒரு சீரறான ேடட இயக்்கம் அல்ல என்பது சதளிேறாகி்றது.

(ii) �மன்பறாடு்கள (4.28) மறறும் (4.29) இல் இரு்நது அறி்நது ச்கறாளேது என்னசேனில் இயக்்கததின் வபறாது தில�வே்கததின் எண மதிபபு மறாறுேதறால், நூலின் இழுவில�யும் மறாறுகின்்றது.

(iii) �மன்பறாடு (4.29), T mg cosθ mv r

= + 2

சுடடிக்்கறாடடுேது ேடடததின் A மறறும் D

பகுதி்களில் (- 2 π

< θ < 2 π

மறறும் cosθ வநரக்குறி)

mg cosθ எபவபறாதும் சுழிலயவிட அதி்கமறாகும். எனவே தில�வே்கம் சுழியறானறாலும் இழுவில� சுழியறா்கறாது.

(iv) �மன்பறாடு (4.29), mv r

T mg cos 2

  

வமலும் சுடடிக்்கறாடடுேது ேடடததின் B மறறும்

C பகுதி்களில் ( 2 π < θ <

2 3π மறறும் θcos

எதிரக்குறி), �மன்பறாடடின் இரணடறாேது பகுதி (- mg cos θ) எபவபறாதும் சுழிலய விட அதி்கமறாகும். எனவே இழுவில� சுழியறானறாலும் தில�வே்கம் சுழியறா்கறாது.

θ TA
r
θ mgcos

ச�ஙகுதது ேடட இயக்்கம் சதறாடரபறான ்கணக்கு்கல்ள தீரவு்கறாணும்வபறாது வமற்கணட ்கருதது்கல்ள மனதில் ச்கறாள்ள வேணடும். படம் 4.15 இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு அடிபபக்்கப புளளி 1 மறறும் வமறபக்்கப புளளி 2 ஆகிய இரு நிலல்கல்ள மடடும் ்கருததில் ச்கறாணடு வமலும் பகுபபறாயவு ச�யவேறாம். சபறாருளின் தில�வே்கமறானது அடிபபக்்கபபுளளி 1 இல் 1v எனவும், வமறபக்்கப புளளி 2 இல் 2v எனவும் வேறு எ்நத புளளியிலும் v எனவும் ச்கறாள்க. தில�வே்கததின் தில� அலனததுப புளளி்களிலும் ேடடபபறாலதயின் சதறாடுவ்கறாடடுத தில�யில் உள்ளது. அடிபபக்்கப புளளியிலிரு்நது நூலின் இழுவில�யறானது 1T

 எனவும், வமறபக்்கப

புளளியிலிரு்நது இழுவில� 2T 

எனவும் வேறு எ்நத புளளியிலும் இழுவில� T

 எனவும் ச்கறாள்க.

ஒவ்சேறாரு புளளியிலும் இழுவில� லமயபபுளளிலய வநறாக்கி ச�யல்படுகி்றது. ஆற்றல் மறா்றறா விதிலயப பயன்படுததி இ்நத இரு புளளி்களிலும் இழுவில�்கள மறறும் தில�வே்கங்கல்ளக் ்கணக்கிடலறாம்.

V2

V1

T2

T1

r

2

mg

mg

1

்படம் 4.15 அடிபபக்்க மறறும் வமறபக்்கப புளளி்களுக்்கறான ச�ஙகுதது ேடட இயக்்கம்

அடிப்பககப புள்ளி (1) : சபறாரு்ளறானது அடிபபக்்கப புளளி 1 இல் உள்ளவபறாது புவியீரபபு வில� gm சபறாருளின் மீது ச�ஙகுததறா்க கீழ்வநறாக்கி ச�யல்படுகி்றது மறறும் இழுவில�

1_T_ 

ச�ஙகுததறா்க வமல்வநறாக்கி அதறாேது லமயபபுளளிலய வநறாக்கிச் ச�யல்படுகி்றது. �மன்பறாடு (4.29) இல் இரு்நது நறாம் சபறுேது

T mg mv r1

1 2

  (4.30)

T mv r

mg1 1 2

  (4.31)

நமற்பககப புள்ளி (2) : வமறபக்்கப புளளி 2 இல் சபறாருளின் மீதறான புவியீரபபு வில� gm மறறும் இழுவில� 2T

 ஆகிய

இரணடும் கீழ்வநறாக்கி அதறாேது லமயபபுளளிலய வநறாக்கி ச�யல்படுகி்றது.

T mg mv

r2 2 2

+ = (4.32)

T mv

r mg2

2 2

= − (4.33)

�மன்பறாடு்கள (4.31) மறறும் (4.33) இல் இரு்நது 1_T >_ 2_T என அறியலறாம். இழுவில�யின் வேறுபறாடு_ 1_T -_ 2_T ஆனது �மன்பறாடு (4.33)ஐ �மன்பறாடு_

(4.31) இல் இரு்நது ்கழிபபதன் மூலம் சப்றபபடுகி்றது.

T T mv r

mg mv r

mg1 2 1 2

2 2

     

 



 

= mv r

mg mv r

mg1 2

2 2

  

T T m r

v v mg1 2 1 2

2 2 2     (4.34)

புளளி 1 மறறும் 2 இல் ஆற்றல் மறா்றறா விதிலயப பயன்படுததி v v1

2 2 2  மதிபலப எளிதறா்கக்

்கணக்கிடலறாம்.

இழுவில�யும் சபறாருள ச�ல்லும் தில�யும் எபவபறாதும் ஒன்றுக்ச்கறான்று ச�ஙகுததறா்க

உள்ளதறால் இழுவில�யறானது சபறாருளின்மீது எவ்வித வேலலயும் ச�யயறாது. புவியீரபபு வில�யறானது சபறாருளின் மீது வேலல ச�யகி்றது. வமலும் அது ஆற்றல் மறாற்றறா வில� என்பதறால் இயக்்கம் முழுேதும் சபறாருளின் சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாது.

குறிபபு

புளளி 1 இல் உள்ள சமறாதத ஆற்றல் (E1) புளளி 2 இல் உள்ள சமறாதத ஆற்றல் (E2) க்கு �மமறாகும்.

_E_1 _= E_2 (4.35)

புளளி 1 இல் நிலல ஆற்றல் U1 0= (புளளி 1 ஐ குறிபபுப புளளியறா்க எடுததுக்ச்கறாளேதன் மூலம்) புளளி 1 இல் இயக்்க ஆற்றல் KE1 1

21 2

= mv

_புளளி 1 இல் சமறாதத ஆற்றல் E U KE_1 1 1 1

2 1 20 1

2 1 2

= + = + =mv mv

_இதுவபறான்வ்ற புளளி 2 இல் நிலல ஆற்றல் U_2 2= mg r)( (புளளி 1 இல் இரு்நது h மதிபபு 2r ஆகும்)

புளளி 2 இல் இயக்்க ஆற்றல் KE2 2 21

2 = mv

புளளி 2 இல் சமறாதத ஆற்றல்

_E U KE_2 2 2

2 2 2 1 2

= = ++ mg r mv

�மன்பறாடு (4.35) இல் உள்ளேறாறு ஆற்றல் மறா்றறா விதிபபடி

1 2

2 1 21

2 2 2mv mgr mv 

மறாறறியலமக்்க

1 2

21 2

2 2m v v mgr  

v v gr1 2

2 2 4  (4.36)

�மன்பறாடு (4.34) இல் �மன்பறாடு (4.36) ஐ பிரதியிட

T T m r

gr mg1 2 4 2− = [ ] +

எனவே இழுவில�யில் மறாறுபறாடறானது

T T mg1 2 6  (4.37)

நமற்பககப புள்ளி (2) இல் சிறும நவகம்: சபறாரு்ளறானது புளளி 2 இல் ஒரு சிறும வே்கதலதக் ச்கறாணடிருக்்க வேணடும், இல்லலசயனில் புளளி

2 ஐ அலடயும் முன்பறா்க நூலறானது த்ளரவுறறு அதனறால் சபறாருள ேடடபபறாலதலய நில்றவு ச�யயறாது. இ்நத சிறும வே்கதலதக் ்கணக்கிட �மன்பறாடு (4.33) இல் இழுவில� 02 =T எனக் ச்கறாளவேறாம்.

0 2 2

  mv

r mg

mv r

mg2 2

=

v rg2 2 =

v gr2 = (4.38)

சபறாரு்ளறானது ேடடபபறாலதயில் சதறாடர்நது இயங்க புளளி 2 இல் v gr2 ≥ என்்ற வே்கதலதக் ச்கறாணடிருக்்க வேணடும். அடிபபுள்ளி (1) இல் சிறும நவகம்:

புளளி 2 இல் இ்நத சிறும வே்கதலதப v gr2   சப்ற சபறாரு்ளறானது புளளி 1 லும் ஒரு சிறும வே்கதலதக் ச்கறாணடிருக்்க வேணடும். �மன்பறாடு (4.36) ஐப பயன்படுததி புளளி 1 இல் சிறும வே்கதலத நறாம் ்கறாணலறாம்.

v v gr1 2

2 2 4 

�மன்பறாடு (4.38) ஐ (4.36) இல் பிரதியிட

v gr gr1 2 4 

v gr1 2 5=

v gr1 5= (4.39)

சபறாரு்ளறானது ேடடபபறாலதயில் சதறாடர்நது இயங்க புளளி 1 இல் (v gr1 5≥ ) என்்ற வே்கதலதக் ச்கறாணடிருக்்க வேணடும். �மன்பறாடு்கள (4.38) மறறும் (4.39) இல் இரு்நது அறிேது என்னசேனில் சபறாருள ேடடபபறாலதலய விடடு வில்கறாமல் நில்றவு ச�யய அடிபபுளளி 1 இல் சிறும வே்கமறானது வமறபக்்கப புளளி 2 இல் உள்ள சிறும வே்கதலத விட 5 மடஙகு இருக்்க வேணடும்.

4.3

எடுத்துககோட்டு 4. 17 ்கயிறறுடன் ்கடடபபடட ஒரு ேறாளியில் உள்ள நீர 0.5 m ஆரமுள்ள ச�ஙகுதது ேடடதலத சுறறி சுைற்றபபடுகி்றது. இயக்்கததின்வபறாது நீரறானது ேறாளியில் இரு்நது சி்நதறாமல் இருக்்க அடிபபுளளியில் இருக்்கவேணடிய சிறும தில�வே்கதலதக் ்கணக்கிடு்க. (g = 10 m s-2)

தீரவு

_ேடடததின் ஆரம் r = 0.5 m வமறபக்்கப புளளியில் வதலேயறான வே்கம் v gr_2 10 0 5 5   . m s-1

_அடிபபக்்கப புளளியில் வே்கம் v gr gr_1 5 5 5    × 5 = 5 m s-1

தி்றன் (POWER)

தி்றனின் வலர்யல்ற

தி்றன் என்பது எவ்ே்ளவு வே்கமறா்க அல்லது சமதுேறா்க ஒரு வேலல ச�யயபபடுகி்றது என்பதன் அ்ளேறாகும். வேலல ச�யயபபடும் வீதம் அல்லது ஆற்றல் சேளிபபடும் வீதம், தி்றன் என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது.

தி்றன் (P) =

P W t

=

ைரோைரித் தி்றன் ச�யயபபடட சமறாதத வேலலக்கும் எடுததுக்ச்கறாணட சமறாதத வநரததிறகும் இலடவய உள்ள விகிதம் �ரறா�ரிததி்றன் (P�ரறா�ரி) என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது.

ச�யயபபடட வேலல (W) எடுததுக்ச்கறாணட வநரம் (t)

(P �ரறா�ரி) =

உடனடித் தி்றன் ஒரு ்கண வநரததில் (வநர இலடசேளி சுழிலய சநருஙகும்வபறாது) சேளிபபடும் தி்றன் உடனடித தி்றன் (P உடனடி) என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது.

(P உடனடி) =

தி்றனின் அலகு

தி்றன் ஒரு ஸ்வ்கலர அ்ளேறாகும். அதன் பரிமறாணம் [ ]32 −_TML . தி்றனின் SI அலகு ேறாட (W) என்று நீரறாவி இய்நதிரதலதக் ்கணடுபிடிதத வஜம்ஸ் ேறாட சபயரறால் அலைக்்கபபடுகி்றது. ஒரு வினறாடியில் ஒரு ஜுல் வேலல ச�யயபபடடறால் தி்றன் ஒரு ேறாட என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது._ ( ).11 1−= JsW கிவலறாேறாட (kW), சம்கறாேறாட (MW) மறறும் ஜி்கறாேறாட (GW) ஆகியலே தி்றனின் உயர அலகு்கள ஆகும்.

1 kW = 1000 W = 103 வாட்

1 MW = 106 வாட்

1 GW = 109 வாட்

வமறாடடறார்கள, இய்நதிரங்கள மறறும் சில தறானியஙகி ேறா்கனங்களுக்கு குதிலரததி்றன் (horse – power) (hp) என்்றலைக்்கபபடும் தி்றனின் பலைய அல்கறானது ேணி்கரீதியறா்க இன்னும் பயன்பறாடடில் உள்ளது. குதிலரததி்றலன (hp) ேறாட (W) என்்ற அலகில் மறாற்ற

1 hp = 746 W

அலனதது மின் �றாதனங்களின் மீதும் ஒரு குறிபபிடட தி்றனின் அ்ளவு அச்சிடபபடடு ேைங்கபபடுகின்்றது. ஒரு 100 ேறாட வி்ளக்கு (bulb) ஒரு வினறாடியில் 100 ஜுல் மின் ஆற்றலல நு்கரகி்றது. ஜுல் என்்ற அல்கறால் அ்ளக்்கபபடும் ஆற்றலின் தி்றலன ேறாட என்்ற அலகிலும் வநரதலத வினறாடி என்்ற அலகிலும்

ச�யயபபடட சமறாதத வேலல எடுததுக்ச்கறாணட சமறாதத வநரம்

dw dt

கோ Ø©   4.17>டடபபடட ஒ± ேTˆ„à உளN ஆர¯ளN ச�ங¤த« ேடடதலத ¦ற† L«. இயÔ>தåவபT« –ரTன« Û« zÛதTமà இ±Ô> அ}ப®ளˆ„à ண}ய z²ம ல�வே>தலதÔ >. (g = 10 m s )-2டதå ஆரÝ r = 0.5 mபÔ>ப r ®10ளˆ„05. à வதலே5 யTன m s ®ளˆ„à வே r >Ý 5 × 5-1 = 5 m s-1
எ©Ú« க>„ற²டå –ர 0.5 m ¦ைறLபப©xேTˆ„à இ±இ±Ô>வே>ணÔx©•ர¶

| ேடவமvgறவே>Ý அ}பvg பÔ55>ப rg21 |

குறிபபிடுேதறால் 1 J = 1 Ws என எழுதலறாம். மின் உப்கரணங்கள பல மணி வநரததிறகு பயன்பறாடடில் உள்ளவபறாது அலே அதி்க அ்ளவிலறான ஆற்றலல நு்கருகின்்றன. மின் ஆற்றலல ேறாட வினறாடி (Ws) என்்ற சிறிய அலகில் அ்ளவிடும்வபறாது சபரிய எண மதிபபு்கல்ளக் ல்கயறா்ள வேணடும். எனவே மின் ஆற்றலறானது கிவலறாேறாட மணி (kilowatt hour - kWh) என்்ற அல்கறால் அ்ளவிடபபடுகி்றது.

1 மின் அலகு (1 யூனிட) = 1 kWh = 1 × (103 W) × (3600 s) 1 மின் அலகு = 3600 × 103 W s 1 மின் அலகு = 3.6 × 106 J 1 kWh = 3.6 × 106 J

மின் ஆற்றல் நு்கரவுக்கு kWh என்்ற அலகில் மின்்கடடண படடியல்்கள தயறாரிக்்கபபடுகின்்றன. 1 அலகு மின் ஆற்றல் என்பது 1 kWh ஆகும். (குறிபபு: kWh என்பது ஆற்றலின் அலகு; தி்றனின் அலகு அல்ல)

எடுத்துககோட்டு 4. 18 ஒரு 75 W மின்விசிறி தினமும் 8 மணி வநரம் ஒரு மறாதததிறகு (30 நறாட்கள) பயன்படுததபபடடறால் நு்கரபபடட ஆற்றலல மின் அலகில் ்கணக்கிடு்க.

தீரவு

தி்றன் P = 75 W பயன்பறாடடு வநரம் t = 8 மணி x 30 நறாட்கள = 240 மணி. நு்கரபபடட மின் ஆற்றலறானது தி்றன் மறறும் பயன்பறாடடு வநரம் ஆகியேறறின் சபருக்்கல் பலன் ஆகும்.

மின் ஆற்றல் = தி்றன் x பயன்பறாடடு வநரம் = P x t

= 75 ேறாட x 240 மணி

= 18000 ேறாட மணி

= 18 கிவலறா ேறாட மணி = 18 kW h

1 மின் அலகு = 1 kW h

மின் ஆற்றல் = 18 அலகு

மின்னிலை வி்ளக்கு்கள 1000 மணி வநரம் ஒளிவீசும். CFL வி்ளக்கு்கள 6000 மணி வநரம்

ஒளிவீசும். ஆனறால் LED வி்ளக்கு்கள 50000 மணிவநரம் ஒளி வீசும் (ஏ்றததறாை 25 ஆணடு்கள, நறாச்ளறான்றுக்கு 5.5 மணி வநரம்)

தி்றன் மறறும் திலைநவகம்  ஆகி்யவறறுககு இலடந்ய உள்்ள க்தோடரபு

F  என்்ற வில�யினறால் rd என்்ற இடபசபயரச்சிக்கு

ச�யயபபடட வேலல

W F dr  

 (4.40)

�மன்பறாடு (4.40) இன் இடது பக்்கததில் உள்ளலத இவ்ேறாறு எழுதலறாம்.

W dW dW dt

dt   (4.41)

(dt – ஆல் சபருக்்கவும் ேகுக்்கவும் ச�யய)

தில�வே்கம்  

v dr dt

= ; என்பதறால் dr _v dt_ 

=

�மன்பறாடு (4.40) இன் ேலது பக்்கததில் உள்ளலத இவ்ேறாறு எழுதலறாம்.

∫ ∫ ∫⋅ = ⋅ 

 

= ⋅( ) = 

 

        ∵F dr F dt F dt_dr_

dt v v dr

dt (4.42)

�மன்பறாடு (4.41) மறறும் (4.42) ஐ �மன்பறாடு (4.40) இல் பிரதியிட

   dW dt

dt F dt 

_v_

    

   

dW dt

F dt 

_v_ 0

இ்நத சதறாடரபறானது dt இன் எ்நத ஒரு தன்னிச்ல�யறான மதிபபிறகும் �ரியறா்க உள்ளது. அலடபபுக்குறிக்குள உள்ள மதிபபு சுழியறா்க இருக்்க வேணடும் என்பலத இது குறிக்கி்றது. அதறாேது

ƒåலை ŠNÔ¤>ள 1000 ம~ வநரÝ ஒˆ ¦Ý. CFL ŠNÔ¤>ள 6000 ம~ வநரÝ ஆனTà LED ŠNÔ¤>ள 50000 வநரÝ ஒˆ  ¦Ý (ஏL ததTை 25 ண©>ள, நTசNTå²Ô¤ 5.5 ம~ வநரÝ)
ஒˆ ¦Ý. ம~ஆ

கோ Ø©   4.18ƒåŠz† ன¯Ý 8 ம~ வநரÝ ஒ± (30 நTட>ள) பய åப ©ததபப டடTà ஆறLல ல ƒå அலxà >ணÔx©>. 75 WவநரÝ t = 8 ம~ x 30 நTட>ள = 240 ரபப டட ƒå ஆறLலTன« L å மற²Ý வநரÝ ஆxயேற†å சப ±Ô>à பலå = L å x பயåபTட© வநரÝ = P x t= 75 ேTட x 240 ம~= 18000 ேTட ம~= 18 xவலT ேTட ம~ = 18 kW h= 1 kW h= 18 அல¤
எ©Ú« கஒ± 75 W மTததற¤¬>ரபப டட•ர¶L å P =பய åபTட© ம~. ¬>பய åபTட© ஆ¤Ý.

| ƒå ஆறLà 1 ƒå அல¤ ƒå ஆறLà |

4.4

dW dt

F   

_v_ 0 அல்லது

dW dt

F= ⋅ = 

_v P (4.43)_

எடுத்துககோட்டு 4. 19 1250 kg நில்றயுள்ள ஒரு ேறா்கனம் ஒரு �மமறான வநர �றாலலயில் 0.2 m s-2 முடுக்்கததுடன் 500 N என்்ற எதிரக்கும் பு்றவில�க்ச்கதிரறா்க இயக்்கபபடுகி்றது. ேறா்கனததின் தில�வே்கம் 30 m s-1 எனில் ேறா்கனததின் இய்நதிரம் சேளிபபடுததும் தி்றலனக் ்கணக்கிடு்க.

தீரவு

ேறா்கனததின் இய்நதிரம், எதிரக்கும் வில�க்ச்கதிரறா்க வேலல ச�யது ேறா்கனதலத ஒரு முடுக்்கததுடன் இயக்்க வேணடும். எனவே ேறா்கனததின் இய்நதிரம் சேளிபபடுததும் தி்றன்

P = (எதிரக்கும் வில� + (நில்ற × முடுக்்கம்)) (தில�வே்கம்)

P F v F F v P F v F ma v

tot resistive

tot resistive

= ⋅ = + = ⋅ = +









( ) ( )

= (500 + (1250 x 0.2)) (30) = 22.5 kW

நமோ்தல்கள் (COLLISIONS)

வமறாதல் என்பது நம்லமச் சுறறி அவ்ேபவபறாது நலடசப்றக்கூடிய ஒரு சபறாதுேறான நி்கழ்வு ஆகும். உதறாரணமறா்க வ்கரம், பில்லியரடஸ், வ்கறாலிக்குணடு வபறான்்ற வில்ளயறாடடு்களில் இரு சபறாருட்களுக்கிலடவயயறான வமறாதல்்க்ளறானது சதறாடுதலுடன் அல்லது சதறாடுதலின்றி ஏறபடலறாம். அலனதது வமறாதல் ச�யல்முல்ற்களிலும் வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம் மறா்றறாது. இரு சபறாருட்கள வமறாதலுற்றறால் அேறறிறகிலடவய ச�யல்படும் �மமறான ்கணததறாக்கு வில�்கள t∆ என்்ற

வமறாதலுறும் வநரததில் அேறறின் உ்நதங்களில் மறாற்றதலத ஏறபடுததுகி்றது. அதறாேது முதல் சபறாருள F 

21 என்்ற வில�லய இரணடறாேது சபறாருளின் மீது ச�லுததுகி்றது. அவதவபறால் நியூடடனின் மூன்்றறாம் விதிபபடி, இரணடறாேது சபறாரு்ளறானது முதல் சபறாருளின் மீது F

 12

என்்ற வில�லய ச�லுததுகி்றது. இலே முதல் மறறும் இரணடறாேது சபறாருட்களின் உ்நதததில் முல்றவய 1P

 ∆ மறறும்

2_P_ 

∆ என்்ற மறாற்றதலத ஏறபடுததுகி்றது. தறவபறாது இதன் சதறாடரபு்கல்ள கீழ்க்்கணடேறாறு எழுதலறாம்.

  



p F t1 12 (4.44)

  



p F t2 21 (4.45)

�மன்பறாடு (4.44) மறறும் (4.45) இரணலடயும் கூடட

      

   

p p F t F t F F t1 2 12 21 12 21      நியூடடனின் மூன்்றறாம் விதிபபடி

 

F F12 21 

1_P_ 

∆ + 2_P_ 

∆ = 0

1(P 

∆ + )2_P_ 

= 0

இருபு்றமும் t∆ - ஆல் ேகுக்்க, மறறும் எல்லல 0→∆_t எனக் ச்கறாள்ள நறாம் சபறுேது_

lim 

 t

p p p p 

  

  

0

1 2 1 2 0    

t d

dt

வமற்கணட �மன்பறாடு சமறாதத வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம் ஒரு மறா்றறா அ்ளவு என்பலதக் குறிக்கி்றது. குறிபபு: உ்நதம் ஒரு சேக்டர அ்ளேறாகும். எனவே வமறாதலின்வபறாது தனிததனி சபறாருட்களின் உ்நததலதக் ்கறாண சேக்டர கூடுதல் பின்பற்றபபட வேணடும்.

நமோ்தல்களின் வலககள்

எ்நத ஒரு வமறாதல் ச�யல்முல்றயிலும் சமறாதத வநரக்வ்கறாடடு உ்நதமும், சமறாதத ஆற்றலும் எபவபறாதும் மறா்றறாது. அவத�மயம் சமறாதத இயக்்க ஆற்றலறானது எபவபறாதும் மறா்றறாமல் இருக்்கத

எ©Ú« க கோ Ø©   4.191250 kg €லL°ளN ஒ± ேT>னÝ ஒ± �மமTன வநர �Tலல„à 0.2 m s ¯©Ô>த «டå 500 N எåL எரÔ¤Ý ®LŠல�Ôச>ரT>இயÔ>பப©xL«. ேT>னத -2å ல�வே>Ý 30 m s எà ேT>னத å இயÛரÝ சேˆபப©த «Ý LலனÔ >ணÔx©>.•ர¶ -1ேT>னத å இயÛரÝ, எரÔ¤Ý Šல�Ôச>ரT> வேலல ச�ய« ேT>னத லதஒ± ¯©Ô>த «டå இயÔ> வேண©Ý. எனவே ேT>னத å இயÛரÝ சேˆபப©த «Ý Lå(எரÔ¤Ý Šல� + (€லL ×¯©ÔvF>Ý)) (=+() ல�வே Fv>Ý)vF=+() ma vtotr esistive= 22.5 kWtotr esistive

| P =PF=⋅PF=⋅= (500 + (1250 x 0.2)) (30) |

வதலேயில்லல. சதறாடக்்க இயக்்க ஆற்றலின் ஒரு பகுதி வேறு ேல்கயறான ஆற்றலறா்க மறாற்றமலடகி்றது. ஏசனன்்றறால் வமறாதல்்கள மறறும் வமறாதல்்க்ளறால் ஏறபடும் உருக்குலலவு ஆகியேறறின் தறாக்்கம் சபறாதுேறா்க சேபபம், ஒலி, ஒளி வபறான்்றேறல்ற உருேறாக்குகி்றது. இ்நத வில்ளவு்கல்ள ்கணக்கில் ச்கறாணடு வமறாதல்்கல்ள நறாம் கீழ்க்்கணடேறாறு ேல்கபபடுததலறாம். (a) மீடசி வமறாதல் (b) மீடசியற்ற வமறாதல்

(a) மீட்சி நமோ்தல் (Elastic Collision) ஒரு வமறாதலில் சபறாருட்களின் சதறாடக்்க சமறாதத இயக்்க ஆற்றலறானது (வமறாதலுக்கு முன்) சபறாருட்களின் இறுதி சமறாதத இயக்்க ஆற்றலுக்கு (வமறாதலுக்குப பின்) �மமறா்க இரு்நதறால் அது மீடசிவமறாதல் எனபபடும். அதறாேது வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் = வமறாதலுக்குப பின் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல்

(b) மீட்சி்யற்ற நமோ்தல் (Inelastic Collision) ஒரு வமறாதலில் சபறாருட்களின் சதறாடக்்க சமறாதத இயக்்க ஆற்றலறானது (வமறாதலுக்கு முன்) சபறாருட்களின் இறுதி சமறாதத இயக்்க ஆற்றலுக்கு (வமறாதலுக்குப பின்) �மமறா்க இல்லலசயனில் அது மீடசியற்ற வமறாதல் எனபபடும். அதறாேது வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் ≠ வமறாதலுக்குப பின் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல்

வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் – வமறாதலுக்குப பின்

சமறாதத இயக்்க ஆற்றல்

= வமறாதலின்வபறாது ஆற்றல் இைபபு = ∆Q

அட்டவலண 4.4 மீடசி மறறும் மீடசியற்ற வமறாதல்்கல்ள வ. எண் மீட்சி நமோ்தல் 1. சமறாதத உ்நதம் மறா்றறாது 2. சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் மறா்றறாது 3. சதறாடரபுலடய வில�்கள ஆற்றல் மறாற்ற

வில�்கள 4. இய்நதிர ஆற்றல் சிலதேலடயறாது

இயக்்க ஆற்றல் மறாறும் எனினும் சமறாதத ஆற்றல் மறா்றறாது. ஏசனன்்றறால் சமறாதத ஆற்றலறானது இயக்்க ஆற்றலின் �மன்பறாடு மறறும் வமறாதலின்வபறாது ஏறபடட அலனதது இைபபு்கல்ளயும் உள்ளடக்கிய �மன்பறாடு (∆Q) ஆகியேறல்றக் ச்கறாணடுள்ளது. வமறாதலின்வபறாது இயக்்க ஆற்றலில் ஏறபடும் இைபபு ஒலி, சேபபம் வபறான்்ற வேறு ேல்கயறான ஆற்றலறா்க மறாற்றமலடகி்றது என்பலத அறியவும். வமலும் வமறாதலுறும் இரு சபறாருள்களும் வமறாதலுக்குப பின் ஒன்றுடன் ஒன்று ஒடடிக்ச்கறாணடறால் அவ்ேல்க வமறாதல்்கள முழு மீடசியற்றவமறாதல் அல்லது மீடசியற்ற வமறாதல் எனபபடும். அவ்ேல்கயறான வமறாதலல அடிக்்கடி ்கறாணலறாம். உதறாரணமறா்க, ஈரமறான ஒரு ்களிமண உருணலட (அல்லது பபிள்கம்) ஒரு இயஙகும் ேறா்கனததின் மீது எறியபபடடறால், அது இயஙகும் ேறா்கனததுடன் ஒடடிக்ச்கறாளகி்றது மறறும் அலே �ம தில�வே்கததுடன் இயஙகுகின்்றன.

ஒரு ்பரிமோண மீட்சி நமோ்தல்கள்

m1 மறறும் m2 நில்றயுள்ள இரு மீடசிப சபறாருள்கள படம் 4.16 இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு ஒரு உரறாயேற்ற கிலடதத்ளப பரபபில் வநரக்வ்கறாடடில் (வநர x- அச்சின் தில�யில்) இயஙகுேதறா்கக் ்கருது்க.

்படம் 4.16 ஒரு பரிமறாண மீடசி வமறாதல்

ஒபபிடுதல் மீட்சி்யற்ற நமோ்தல் சமறாதத உ்நதம் மறா்றறாது சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் மறாறும்

றா சதறாடரபுலடய வில�்கள ஆற்றல் மறாறறும் வில�்கள இய்நதிர ஆற்றலறானது சேபபம், ஒளி, ஒலி வபறான்்றலேயறா்க சேளிபபடுகி்றது.

மீடசி வமறாதலுக்கு வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் KEi = வமறாதலுக்குப பின் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் KE f

1 2

1 2

1 2

1 21 1

2 2 2

2 1 1

2 2 2

2m u m u m v m v   (4.48)

_நில்ற _ 1_m இன் உந்தம் நில_

_வமறாதலுக்கு முன் pi_1 1 1= m u _pi_2 =

வமறாதலுக்குப பின் pf 1 1 1= m v pf 2

நில்ற க்தோடகக  திலைநவகம்

இறுதி  திலைநவகம்

நில்ற m1 _u_1 _v_1

நில்ற m2 _u_2 _v_2

_நில்ற _ 1_m ** இன் இ்யகக  ஆற்றல்**_

நில்ற

வமறாதலுக்கு முன் _KEi_1 1 1

21 2

= m u K

வமறாதலுக்குப பின் KE f 1 1 1

21 2

= m v K

வநரக்வ்கறாடடு உ்நத மறா்றறா விதியில் இரு்நது வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத உ்நதம் ( pi) = வமறாதலுக்குப பின் சமறாதத உ்நதம் ( pf )

_்ற _ 2_m ** இன் உந்தம் கமோத்்த ந�ரகநகோட்டு உந்தம்**_

2 2m u _p p pi i i_ 1 2

pi  m u m u1 1 2 2

2 2= m v _p p pf f f_ 1 2

pf  m v m v1 1 2 2

வமறாதல் நி்கை நில்ற 1m , நில்ற 2m ஐ விட

வே்கமறா்க இயஙகுேதறா்கக் ்கருது்க. அதறாேது 1_u_ > 2_u . மீடசி வமறாதலுக்கு இரு சபறாருள்களின் சமறாதத_

வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம் மறறும் இயக்்க ஆற்றல்்கள வமறாதலுக்கு முன்பும் வமறாதலுக்குப பின்பும் மறா்றறாமல் ஒவர அ்ளேறா்க இருக்்க வேணடும்.

_ _ 2_m ** இன் இ்யகக  ஆற்றல் கமோத்்த இ்யகக ஆற்றல்**_

_Ei_2 2 2 21

2 = m u

KE KE KEi i i= +1 2

KEi  

1 2

1 21 1

2 2 2

2m u m u

E f 2 2 2 21

2 = m v

KE KE KEf f f= +1 2

KE f = +1

2 1 21 1

2 2 2

2m v m v

m u m u m v m v1 1 2 2 1 1 2 2   (4.46)

அல்லது m u v m v u1 1 1 2 2 2     (4.47)

வமலும்

சுருக்கிய பி்றகு மறாறறியலமக்்க m1(u1 2-v1

2) = m2(v2 2-u2

2) வமற்கணட �மன்பறாடலட )) ((22 bababa −+=− என்்ற ேறாயபபறாடலடப பயன்படுததி மீணடும் எழுத

m u v u v m v u v u1 1 1 1 1 2 2 2 2 2         (4.49)

�மன்பறாடு (4.49) ஐ (4.47) – ஆல் ேகுக்்க கிலடபபது

m u v u v m u v

m v u v u m v u

1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

     

    

  u1 + v1 = v2 + u2

மறாறறியலமக்்க u1 - u2 = v2 - v1 (4.50)

�மன்பறாடு (4.50) – ஐ இவ்ேறாறு எழுதலறாம்.

u u v v1 2 1 2   ( )

இதன் சபறாரு்ளறானது எ்நத ஒரு வநரடி மீடசி வமறாதலிலும், வமறாதலுக்குபபின் இரு மீடசிப சபறாருள்களின் ஒபபுலம வே்கம் வமறாதலுக்கு முன் இரு்நத அவத எண மதிபலபக் ச்கறாணடும் ஆனறால் எதிரததில�யிலும் இருக்கும் என்பதறாகும். வமலும் இ்நத முடிவு நில்றலயச் �றார்நததல்ல என்பலத அறியவும். வமற்கணட �மன்பறாடடிலிரு்நது v1 மறறும் v2 மதிபபு்கல்ளக் ்கறாண

v v u u1 2 2 1   (4.51)

அல்லது

v u v u2 1 1 2   (4.52)

இறுதி திலைநவகஙகள் v1 மறறும் v2 கண்டறி்தல்: �மன்பறாடு (4.52) ஐ �மன்பறாடு (4.47) இல் பிரதியிடுேதன் மூலம் m1 இன் தில�வே்கமறானது

m u v m u v u u1 1 1 2 1 1 2 2       m u v m u v u1 1 1 2 1 1 22      m u m v m u m v m u1 1 1 1 2 1 2 1 2 22   

m u m u m u m v m v1 1 2 1 2 2 1 1 2 12   

m m u m u m m v1 2 1 2 2 1 2 12     

அல்லது v m m m m

u m m m

u1 1 2

1 2 1

2

1 2 2

2 

 



 



  

 

 



 

(4.53)

இது வபறான்வ்ற �மன்பறாடு (4.51) ஐ �மன்பறாடு (4.47) இல் பிரதியிட அல்லது �மன்பறாடு (4.53) ஐ �மன்பறாடு (4.52) இல் பிரதியிட m2 இன் இறுதி தில�வே்கமறானது

v m m m

u m m m m

u2 1

1 2 1

2 1

1 2 2

2 

 

 



  

 



 



  (4.54)

ந�ரவு 1: சபறாருள்கள ஒவர நில்றலயக் ச்கறாணடிரு்நதறால் அதறாேது m1 = m2

�மன்பறாடு (4.53) ⇒ v u m m

u1 1 2

2 20 2

2    



 



 

v u1 2= (4.55)

�மன்பறாடு (4.54) ⇒ v m m

u u2 1

1 1 2

2 2

0 

 



    

v u2 1= (4.56)

�மன்பறாடு்கள (4.55) மறறும் (4.56) சதரிவிபபது என்னசேனில் ஒரு பரிமறாண மீடசி வமறாதலில் �ம நில்றயுள்ள இரு சபறாருள்கள வமறாதிக்ச்கறாணடறால் வமறாதலுக்குப பின் அேறறின் தில�வே்கங்கள பரிமறாறிக் ச்கறாள்ளபபடுகின்்றன.

ந�ரவு  2: சபறாருள்கள ஒவர நில்றலயக் ச்கறாணடிரு்நதறால், அதறாேது m1 = m2 மறறும் இரணடறாேது சபறாருள (ேைக்்கமறா்க இலக்கு என அலைக்்கபபடுேது) ஓயவு நிலலயில் உள்ளவபறாது (u2 = 0). m1 = m2 மறறும் (u2 = 0) என்்ற மதிபபு்கல்ள �மன்பறாடு்கள (4.53) மறறும் (4.54) இல் பிரதியிட

�மன்பறாடு (4.53) ⇒ v1 0= (4.57)

�மன்பறாடு (4.54) ⇒ v u2 1= (4.58)

�மன்பறாடு (4.57) மறறும் (4.58) சதரிவிபபது என்னசேனில் முதல் சபறாருள வமறாதலுக்குப பின் ஓயவு நிலலக்கு ேரும்வபறாது இரணடறாேது சபறாருள முதல் சபறாருளின் சதறாடக்்க தில�வே்கததில் இயஙகுகி்றது.

   v mv  uv11 1 22 22	 uu22(4.50)
mu  vu11
mu11	 v mv u + v = v + uமTற1 †யலமÔ> 22u - u = v - v1 1 2 21 2 2 1

ந�ரவு 3: முதல் சபறாரு்ளறானது இரணடறாேது சபறாருளின் நில்றலயவிட குல்றேறா்க

இரு்நதறால், m m m m1 2

1

2

1 ,  

 

பி்றகு விகிதம் m m

1

2

 ≈ 0 மறறும் இலக்கு ஓயவு நிலலயில்

உள்ளவபறாது (u2 = 0) �மன்பறாடு (4.53) இன் சதறாகுதி மறறும் பகுதிலய m2 ஆல் ேகுக்்க

v

m m m m

u m m

1

1

2

1

2

1 1

2

1

1

2

1 0









   





   

 





   





   

 

v u1 1 0 1 0 1

  

  

  

v u1 1  (4.59)

இது வபறான்வ்ற, �மன்பறாடு (4.54) இன் சதறாகுதி மறறும் பகுதிலய m2- ஆல் ேகுக்்க

v

m m

m m

u

m m

m m

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1 0







   





   

 







   





   

 

v u

m m

m m

2 1

1

2

1

2

0 1

1 0   









   





   

 

v2 0= (4.60)

நில்ற குல்றேறா்க உள்ள முதல் சபறாரு்ளறானது அவத சதறாடக்்க தில�வே்கததுடன் எதிரததில�யில் திரும்புகி்றது (மீணசடழுகி்றது) என்பலதச் �மன்பறாடு (4.59) இல் உள்ள எதிரக்குறி குறிக்கி்றது. அதி்க நில்றயுள்ள இரணடறாேது சபறாரு்ளறானது வமறாதலுக்குப பி்றகும் ஓயவு நிலலயிவலவய சதறாடர்நது இருக்கி்றது என்பலதச் �மன்பறாடு (4.60) குறிக்கி்றது. எடுததுக்்கறாடடறா்க, ப்நது ஒன்று நிலலயறான சுேரின் மீது எறியபபடடறால் ப்நதறானது எறியபபடட அவத தில�வே்கததிவலவய எதிரததில�யில் சுேரில் இரு்நது திரும்பி ேரும்.

ந�ரவு 4: இரணடறாேது சபறாரு்ளறானது முதல் சபறாருல்ளவிட நில்ற குல்றேறா்க உள்ளவபறாது,

m m m m2 1

2

1

1 ,  

 

, பி்றகு விகிதம் m m

2

1

≈ 0

மறறும் இலக்கு ஓயவு நிலலயில் உள்ளவபறாது (u2 = 0) �மன்பறாடு (4.53) இன் சதறாகுதி மறறும் பகுதிலய m1-ஆல் ேகுக்்க

v

m m m m

u

m m m m

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1 0









   





   

 





   





   

 

v u1 1 1 0 1 0

0 1 0

0  

  

   

   

   

v u1 1= (4.61)

இதுவபறான்வ்ற, �மன்பறாடு (4.58) இன் சதறாகுதி மறறும் பகுதிலய m1-ஆல் ேகுக்்க

v m m

u

m m

m m

2 2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1 0







 





 

 







   





   

 

v u2 1 2

1 0 

   

  

v u2 12= (4.62)

்கனமறா்க உள்ள முதல் சபறாரு்ளறானது வமறாதலுக்குப பி்றகு அவத தில�வே்கததுடன் சதறாடர்நது இயஙகுகி்றது என்பலதச் �மன்பறாடு (4.61) குறிக்கி்றது. நில்ற குல்றேறா்க உள்ள இரணடறாேது சபறாருள முதல் சபறாருளின் சதறாடக்்க தில�வே்கதலதப வபறால இரு மடஙகு தில�வே்கததுடன் இயஙகுகி்றது என்பலதச் �மன்பறாடு (4.62) குறிக்கி்றது. நில்ற குல்றேறா்க உள்ள சபறாருள வமறாதலுறும் புளளியிலிரு்நது வே்கமறா்கச் ச�ல்கி்றது.

m1
m2

v  1	m1
m2
m1
mvu2

 1v  11vu 11	m2
m1
 10 10	m2
m1vu

m2
m1

 1m1
m2

m2
m1

v  2vu 21	m1
2m2
m1
 1m02

எடுத்துககோட்டு 4.20 10 m s-1 வே்கததில் இயஙகும் ஒரு நில்ற குல்றேறான சபறாருள அதன் நில்றலயப வபறான்று இரு மடஙகு மறறும் அதன் வே்கததில் பறாதிய்ளவு ச்கறாணட அவத தில�யில் இயஙகும் மறச்றறாரு சபறாருளின் மீது வமறாதுகி்றது. வமறாதலறானது ஒரு பரிமறாண மீடசி வமறாதல் எனக் ்கருது்க. வமறாதலுக்குப பி்றகு இரு சபறாருள்களின் வே்கம் என்ன?

தீரவு:

m1 = m

u2= 5 ms-1 u1=10 ms-1

m2 = 2m

முதல் சபறாருளின் நில்ற m என்்க, மறறும் அதன் சதறாடக்்க தில�வே்கம் u1 = 10 m s-1. எனவே இரணடறாேது சபறாருளின் நில்ற 2 m மறறும் அதன் சதறாடக்்க தில�வே்கம்

u2 = 1 2

u1 = 1 2

10 1ms−( ) �மன்பறாடு்கள (4.53) மறறும் (4.54) இல் இரு்நது இரு சபறாருள்களின் இறுதி தில�வே்கங்கல்ளக் ்கணக்கிடலறாம்.

v m m

m m u m

m m u1

1 2

1 2 1

2

1 2 2

2 

 



 



  

 

 



 

v m m m m

m m m1

2 2

10 2 2 2

5  

  

   

 

  

  

v1 1 3

10 4 3

5 10 20 3

10 3

   

    

 

   

  

v ms1 13 33= −.

v m m m

u m m m m

u2 1

1 2 1

2 1

1 2 2

2 

 

 



  

 



 



 

v m m m

m m m m2

2 2

10 2 2

5 

  

   

 

  

  

v2 2 3

10 1 3

5 20 5 3

25 3

   

    

 

   

 

v ms2 18 33= −.

v1 மறறும் v2 ஆகிய இரு வே்கங்களும் வநரக்குறியறா்க உள்ளதறால் அலே இரணடும் முல்றவய 3.33 m s-1 மறறும் 8.33 m s-1 என்்ற தில�வே்கங்களுடன் வமறாதலுக்கு முன் இயஙகிய தில�யிவலவய இயஙகுகின்்றன.

 முழு மீட்சி்யற்ற நமோ்தல் (Perfect  Inelastic Collision)

முழு மீடசியற்ற வமறாதலில் சபறாருள்கள வமறாதலுக்குபபி்றகு ஒரு சபறாதுேறான தில�வே்கததில் இயஙகும் ேல்கயில் ஒன்றுடன் ஒன்று நிர்நதரமறா்க ஒடடிக்ச்கறாளகின்்றன. 1m மறறும்

2_m நில்ற ச்கறாணட இரு சபறாருள்கள வமறாதலுக்கு முன் முல்றவய 1u மறறும் 2u என்்ற சதறாடக்்க தில�வே்கங்களுடன் இயஙகுேதறா்கக் ச்கறாள்க. படம் (4.17) இல் ்கறாடடியுள்ளேறாறு முழு மீடசியற்ற வமறாதலுக்குப பி்றகு சபறாருட்கள v என்்ற சபறாதுேறான தில�வே்கததுடன் ஒன்்றறா்க இயஙகுகின்்றன. வமறாதலின் வபறாது வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம் மறாற்றபபடறாமல் உள்ளதறால்_

_m_1 _u_1 _+ m_2 _u_2 = (m_1 + m_2) v

்படம் 4.17. ஒரு பரிமறாண முழு மீடசியற்ற வமறாதல்

v   mmv   mm2 2v  2  32	2m   mm  u    u   mm 2m   2mm 10    5 12   mm21 2 112 12  1  20  5 2510    5    3  3 3vm= 83. 3 s−2v ஆxய இ± வேT> உளNதTà அலே3.33 m s மற²Ý 8.33 m 2>ங>´டå வமTத³Ô¤ ¯å இயங-1¤xåLன.	2

| >ங>´Ý இரண©Ý s எåL இயஙxய -1 | | v மற²Ý வநரÔ¤†ய¯லLவய1ல�வேல�„வலவய |

எ©Ú« க10 m s வே¤லLேTன இ± மட-1 ஙச>TணடசபT±ˆå ப மTண ‚L¤ இ± •ர¶:u =10 1¯தà சபTசதTடÔ> இரணடTேசதTடÔ1>  u = u2�மåபT©2 இ± சபT>ணÔxடல
 mmv   mm mmv  1  mm 1v  1  31

_க்போருள் திலைநவகம் ந�ரகநகோட்டு _

உந்தம் க்தோடககம்இறுதி க்தோடககம் இறுதி

_நில்ற m1 u_1 _v m_1_u_1 m_1_v

_நில்ற m2 u_2 _v m_2_u_2 m_2_v

_சமறாததம் m_1_u_1 _+ m_2_u_2

(m_1+ m_2) v

சபறாதுேறான தில�வே்கதலத கீழ்க்்கணடேறாறு ்கணக்கிடலறாம்.

v m u m u

m m 

  

1 1 2 2

1 2

(4.63)

எடுத்துககோட்டு 4.21 50 g நில்றயுள்ள ஒரு துபபறாக்கி குணடு 450 g நில்றயுள்ள ஒரு சதறாங்கவிடபபடட சபறாருளின் அடிபபகுதியிலிரு்நது சுடபபடுகி்றது. துபபறாக்கி குணடு சபறாருளினுள சபறாதி்நது சபறாரு்ளறானது 1.8 m உயரததிறகு வமல்வநறாக்கிச் ச�ல்கி்றது. துபபறாக்கி குணடின் வே்கதலதக் ்கணக்கிடு்க. g = 10 m s-2 எனக் ச்கறாள்க.

தீரவு

m1 = 50 g = 0.05 kg; m2 = 450 g = 0.45 kg

துபபறாக்கி குணடின் வே்கம் u1 ஆகும். இரணடறாேது சபறாருள ஓயவு நிலலயில் உள்ளது (u2 = 0). துபபறாக்கி குணடு சபறாருளினுள சபறாதி்நத பி்றகு துபபறாக்கி குணடு மறறும் சபறாருள ஆகியேறறின் சபறாதுேறான தில�வே்கம் v என்்க.

v m u m u m m

   

1 1 2 2

1 2

v u u= + × +( ) =0 05 0 45 0

0 05 0 45 0 05 0 50

1 1

. ( . ) . .

.

.

சபறாதுேறான தில�வே்கமறானது துபபறாக்கி குணடு மறறும் சபறாருள ஆகிய ஒருஙகிலண்நத அலமபபின் வமல்வநறாக்கிய ச�ஙகுதது இயக்்கததிற்கறான சதறாடக்்க தில�வே்கம் ஆகும். இரணடறாேது இயக்்கச் �மன்பறாடடிலிரு்நது

v gh= 2

v    2 10 1 8 36. v ms= −6 1

இதலன வமற்கணட �மன்பறாடடில் பிரதியிடடு u1 மதிபலபபசப்ற

6 0 05 0 50 1=

.

. u அல்லது u1

0 50 0 05

6 10 6    . .

_u_1 160= −m s

முழு மீட்சி்யற்ற நமோ்தலில்  ஏற்படும் இ்யகக ஆற்றல் இழபபு

முழு மீடசியற்ற வமறாதலின்வபறாது இயக்்க ஆற்றலின் இைபபறானது ஒலி, சேபபம், ஒளி வபறான்்ற வேறு ேல்கயறான ஆற்றலறா்க மறாற்றபபடுகி்றது. வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் KEi மறறும் வமறாதலுக்குபபின் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல் KEf எனக் ச்கறாள்க. வமறாதலுக்கு முன் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல்

KE_i_ = +1 2

1 21 1

2 2 2

2m u m u (4.64)

வமறாதலுக்குப பின் சமறாதத இயக்்க ஆற்றல்

KE f = +( )1 2 1 2

2m m v (4.65)

mu  muv mm()00.( 50u +× .)45 0 00. 5v = = u1100.. 50+ 2245 05. 012சபT«ேTன ல�1 வே>மTன« «பபTÔx 1¤ண© மற²Ý சபT±ள ஆxய ஒ±ஙxலணÛதஅலமப‚å வமàவநTÔxய ச�ங¤த « இயÔ>த ற>Tன சதTடÔ> ல�வே>Ý ஆ¤Ý. இரணடTே« இயÔ>Ö �மåபTட}‡±Û«vg= 2 hv  21 01.83 6vm= 6 s−1இதலன வமற>ணட �மåபTட}à ‚ர„ட© uமபலப00. ப5சபL 05. 06 = u u  61 0605. 0 00. 5 1அàல«u = 60 m s1−11

எனவே இயக்்க ஆற்றலில் ஏறபடும் இைபபு D_Q_ = _KE KEi f_−

D_Q_ = 1 2

1 2

1 21 1

2 2 2

2 1 2

2m u m u m m v    (4.66)

�மன்பறாடு (4.63) ஐ �மன்பறாடு (4.66) இல் பிரதியிடடு a b a b    

2 2 2 2ab என்்ற இயற்கணித �மன்பறாடலடப பயன்படுததி, சுருக்்க நறாம் சபறுேது

இயக்்க ஆற்றலில் ஏறபடும் இைபபு

D_Q_ = 1 2

1 2

1 2 1 2

2m m m m



 



   _u u_

(4.67)

மீட்சி்யளிபபு குணகம் (e)  (Coefficient of restitution)

ஒரு இரபபர ப்நது மறறும் ஒரு பி்ளறாஸ்டிக் ப்நது இரணலடயும் ஒவர த்ளததில் விைச்ச�யேதறா்கக் ச்கறாளவேறாம். இரபபர ப்நதறானது பி்ளறாஸ்டிக் ப்நலதவிட அதி்க உயரததிறகு வமசலழும்பும். ஏசனன்்றறால் ஒரு மீடசிப பணபுள்ள இரபபர ப்நதிறகு இயக்்க ஆற்றலின் இைபபு பி்ளறாஸ்டிக் ப்நதிற்கறான இைபலபவிட மி்க குல்றேறாகும். சபறாதுேறா்க வமறாதலுக்குப பி்றகு இரு சபறாருள்களின் இயக்்க ஆற்றல் மதிபபிலன மீடசியளிபபு குண்கம் (Coefficient of Restitution – COR) எனபபடும் ஒரு பரிமறாணமற்ற எண மூலமறா்க அ்ள்நதறியலறாம். வமறாதலுக்குப பின் உள்ள விலகும் தில�வே்கததிறகும் (�றாரபுத தில�வே்கம்) வமறாதலுக்கு முன் உள்ள சநருஙகும் தில�வே்கததிறகும் (�றாரபுத தில�வே்கம்) இலடவய உள்ள விகிதம் மீடசியளிபபு குண்கம் என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது. அதறாேது

e =

   

e velocity of separation after collision velocity of appro

 

ach before collision v v u u

 

  

( )2 1

1 2

(4.68)

விலகும் தில�வே்கம் (வமறாதலுக்குப பின்) சநருஙகும் தில�வே்கம் (வமறாதலுக்கு முன்)

மீடசி வமறாதலில் விலகும் தில�வே்கமறானது சநருஙகும் தில�வே்கததிறகு �மம் என கிலடக்்கப சபறவ்றறாம். அதறாேது

u u v v e v v

u u1 2 2 1 2 1

1 2

1−( ) = −( ) → = − −( ) =( )

மீடசி வமறாதலுக்கு மீடசியளிபபு குண்கம் e = 1 என்பலத இது குறிக்கி்றது. இயல்பறா்க, வமறாதலுக்குப பி்றகு இயக்்க ஆற்றலில் இைபபு ஏதுமில்லல என்பவத இதன் சபறாரு்ளறாகும். எனவே சபறாரு்ளறானது அவத இயக்்க ஆற்றலுடன் வமசலழும்புகி்றது. இது ேைக்்கமறா்க முழு மீடசி என அலைக்்கபபடுகி்றது. எவ்வித உணலமயறான வமறாதல் நி்கழ்வு்களிலும் வமறாதலினறால் இயக்்க ஆற்றலில் ஏதறாேது இைபபு ஏறபடும். இதன் சபறாருள e இன் மதிபபு எபசபறாழுதும் 1 – ஐ விடக் குல்றேறா்க இருக்கும். முழுலமயறான பி்ளறாஸ்டிக் ப்நதறா்க இரு்நதறால் அது மீணடும் வமசலழும்பறாது. ஆல்கயறால் வமறாதலுக்குப பி்றகு அேறறின் விலகும் தில�வே்கம் சுழியறாகும். எனவே மீடசியளிபபு குண்கததின் மதிபபு e = 0. சபறாதுேறா்க, ஒரு சபறாருளின் மீடசியளிபபு குண்கம் 0 < e < 1 என இருக்கும்.

எடுத்துககோட்டு 4.22 ஒரு மீடசியற்ற வமறாதலில் ஒரு சபறாருள நிலலயறா்க உள்ளவபறாது �மநில்ற்கள ச்கறாணட சபறாருள்களின் தில�வே்கங்களின் விகிதம் v v

e e

1

2

1 1

  

எனக் ்கறாடடு்க.

தீரவு

e =

   

   

 ( ) ( ) ( )v v

u u v v u

v v u

2 1

1 2

2 1

1

2 1

10

  **�**v v eu2 1 1 (1)

வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம் மறா்றறா விதியிலிரு்நது

m u m v m v u v v1 1 2 1 1 2    **�** (2)

விலகும் தில�வே்கம் (வமறாதலுக்குப பின்) சநருஙகும் தில�வே்கம் (வமறாதலுக்கு முன்)

 

சனåLTà ஒ± ™டzப ப ண®ளN இரபபரÛற¤ இயÔ> ஆறL‡å இைப® ‚NTæ}Ô Ûற>Tன இைபலப Šட ƒ> ¤லLேT ¤Ý. «ேT> வமTத³Ô¤ப ‚L¤ இ± சபT ±ள>ˆå Ô> ஆறLà மப‚லன ™டzயˆப® ¤ண>Ý of Restitution – COR) எனபப ©Ý ஒ± TணமறL எண ÂலமT> அNÛத†யலTÝ.மTத³Ô¤ப ‚å உளN Šல¤Ý ல �வே>தற¤Ý�Tர®த ல� வே>Ý) வமTத³Ô¤ ¯å உளN±ங¤Ý ல� வே>தற¤Ý (�Tர®தல� வே>Ý) இலடவய உளN ŠxதÝ ™டzயˆப®>Ý என ேலர ய²Ô>பப©xL«.Tே«Šல¤Ý ல� வே>Ý (வமTத³Ô¤
ப ‚å)
e = சந
()vv ±ங¤Ý ல� வே>Ý (வமTத³Ô¤ ¯å)uu2112	(4.68)

„ 

F என்்ற ஒரு வில� ஒரு சபறாருளின் மீது ச�யல் வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல W F dr=



.

„ _மறா்றக்கூடிய வில�யறால் ச�யயபபடட வேலல i_

„ வேலல – இயக்்க ஆற்றல் வதற்றம்: சபறாருளின் இயக்்க ஆற்றலின் மறாறுபறாடடிறகுச் �மமறாகும்.

„ இயக்்க ஆற்றலல உ்நத மதிபபின் மூலமறா்கவும் ே

„ P என்்ற புளளியில் நிலல ஆற்றலறானது சபறாருல தில�வே்கததுடன் ந்கரததத வதலேயறான வேல U F drextO

P  



. என எழுதலறாம். குறிபபுப புளளியி

„ h உயரததில் ஈரபபு அழுதத ஆற்றல் U mgh= . ஆற்றல் U kx=

1 2

2 . இஙகு k என்பது சுருளவில்

„ ஆற்றல் மறாற்றறா வில�யறால் ஒரு மூடிய பறாலதயி மறாறறும் வில�க்கு இது சுழியல்ல.

„ புவியீரபபு வில�, சுருளவில் வில� மறறும் கூலூ ஆனறால் உரறாயவு வில� ஆற்றல் மறாறறும் வில�

„ ஆற்றல் மறாற்றறா வில�யின் புலததில் சபறாருளின்

„ ச�ஙகுதது ேடட இயக்்கததில் ேடடதலத நில்றவு வதலேயறான சிறும வே்கம் 5gr ஆகும். இஙகு

„ தி்றன் என்பது ச�யயபபடட வேலலயின் வீ

ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது. இதன் மதிபபு P W t

= =

„ மீடசி மறறும் மீடசியற்ற வமறாதல்்கள இரணடி எபவபறாதும் மறா்றறாது.

„ மீடசி வமறாதல்்களில் அலமபபின் இயக்்க ஆற்றல்

„ மீடசியளிபபு குண்கம் = விலகும் தில�வே்கம்

சநருஙகும் தில�வே்க

்போடச்சுருககம்

�மன்பறாடு (2) இல் உள்ள 1u இன் மதிபலப �மன்பறாடு (1) இல் பிரதியிட

v v e v v2 1 1 2   

படடு அதலன W F dr= = 

. சதறாலலவு இடம்சபயரச் ச�யதறால், = _Fdr cos_θ

. f F dr  

என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது.

மீது வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல அதன்

லரயல்ற ச�யயலறாம். அதன்படி K E p m

. = 2

2 ்ள ஒரு குறிபபுப புளளி 0 முதல் புளளி P ேலர மறா்றறா லயின் அ்ளவு என ேலரயறுக்்கபபடுகி்றது. இதலன ல் நிலல ஆற்றல் சுழி எனக் ்கருதபபடுகி்றது.

நீடசி அல்லது அமுக்்கம் x எனில் சுருளவில் நிலல மறாறிலி ஆகும்.

ல் ச�யயபபடட வேலல சுழியறாகும் வமலும், ஆற்றல்

ம் வில� ஆகியலே ஆற்றல் மறாற்றறா வில�்கள. ஆகும்.

சமறாதத ஆற்றல் மறாற்றபபடறாது.

ச�யய ேடடபபறாலதயின் கீழ்புளளியில் ச்கறாடுக்்கத r என்பது ேடடததின் ஆரம்.

தம் அல்லது ஆற்றல் சேளிபபடும் வீதம் என

F v 

.

லும் அலமபபின் சமறாதத வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம்

மறா்றறாது. (வமறாதலுக்குப பின்) ம் (வமறாதலுக்கு முன்)

இதலனச் சுருக்்க

v v

e e

1

2

1 1

  

இதலனÖ ¦±Ô>v 1  ev 1  e12

கருத்து வ

ªêƒ°ˆ¶ õ†ì Þò‚è‹

ÝŸø™ ñ£ø£ MF

G¬ô ÝŸø™

ÝŸø™ ñ£Ÿø£ M¬ê

«õ¬ô-_Þò‚è ÝŸø™ «îŸø‹

ñ£Áð´‹ M¬ê

M¬

ñ£ø£ M¬ê

«õ¬ô

«õ¬ô ÝŸø™

லர்படம்

Þò‚è ÝŸø™ ÞöŠ¹

e†CòŸø «ñ£î™

e†C «ñ£î™

«ñ£î™èœ

ÝŸø™ ñ£ŸÁ‹ M¬ê

ê

ñŸÁ‹ Fø¡

I. ைரி்யோன விலடல்ய ந்தரநக்தடுத்து  எழுதுக 1. (2 ˆî j) N என்்ற சீரறான வில� 1 kg

நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருளின்மீது ச�யல்படுகி்றது. சபறாரு்ளறானது (3 kj ˆˆ + ) என்்ற நிலல முதல் (5 ji ˆ3ˆ + ) என்்ற நிலல ேலர இடம்சபயருகி்றது. சபறாருளின் மீது வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல

(AIPMT மோதிரி 2013) (a) 9 J (b) 6 J (c) 10 J (d) 12 J

2. 80 m உயரமுள்ள ஒரு ்கடடிடததின் வமலிரு்நது 1 kg மறறும் 2 kg நில்றயுள்ள ப்நது்கள வபறாடபபடுகி்றது. புவிலய வநறாக்கி ஒவ்சேறான்றும் 40 m விழு்நத பி்றகு அேறறின் இயக்்க ஆற்றல்்களின் விகிதம்

(AIPMT மோதிரி 2013) (a) 1:2 (b) 1: 2 (c) 2 : 1 (d) 1 : 2

3. 1 kg நில்றயுள்ள ஒரு சபறாருள 20 m s-1 தில�வே்கததுடன் வமல்வநறாக்கி எறியபபடுகி்றது. அது 18 m உயரதலத அலட்நதவுடன் ்கணவநர ஓயவு நிலலக்கு ேருகி்றது. உரறாயவு வில�யறால் இைக்்கபபடட ஆற்றல் எவ்ே்ளவு?

( g ms= −10 2 _ எனகககோள்க) (AIPMT 2009)_ (a) 20 J (b) 30 J (c) 40 J (d) 10 J

4. ஒரு இய்நதிரம் நீலர சதறாடரச்சியறா்க ஒரு குைறாயின் ேழிவய இல்றக்கி்றது. நீரறானது v என்்ற தில�வே்கததுடன் குைறாலய விடடுச் ச�ல்கி்றது மறறும் இல்றக்்கபபடும் நீரின் ஓரலகு நீ்ளததின் நில்ற m என்்க. நீருக்கு இயக்்க ஆற்றல் அளிக்்கபபடட வீதம் யறாது?

(AIPMT 2009)

(a) 1 2

3_mv_ (b) mv3

(c) 3 2

2_mv (d)_

5. 4 m நில்றயு்ள்ள ஒரு சபறாருள - த்ளததில் ஓயவு நிலலயில் உள்ளது. அது திடீசரன மூன்று துணடு்க்ளறா்க சேடிததுச் சிதறுகி்றது. m நில்றயுள்ள இரு துணடு்கள v என்்ற �ம வே்கததில் ஒன்றுக்ச்கறான்று ச�ஙகுததறா்க

மதிபபீடு

இயஙகுகி்றது. சேடிபபினறால் உருேறாக்்கபபடட சமறாதத இயக்்க ஆற்றல்

(AIPMT 2014)

(a) m v2 (b) 3

2

2_mv_

(c) 2 m v2 (d) 4 m v2

_6. _ ஒரு அலமபபின் நிலல ஆற்றல் உயருகி்றது. எனில்

(a) ஆற்றல் மறாற்றறா வில�க்ச்கதிரறா்க அலமபபினறால் வேலல ச�யயபபடுகி்றது

(b) ஆற்றல் மறாறறும் வில�க்ச்கதிரறா்க அலமபபினறால் வேலல ச�யயபபடுகி்றது

(c) ஆற்றல் மறாற்றறா வில�யினறால் அலமபபின் மீது வேலல ச�யயபபடுகி்றது

(d) ஆற்றல் மறாறறும் வில�யினறால் அலமபபின் மீது வேலல ச�யயபபடுகி்றது

7. R ஆரமுள்ள ஒரு ச�ஙகுதது ேடடதலத நில்றவு ச�யய m நில்றயுள்ள சபறாருள கீழ்முலனயில் எ்நத சிறும தில�வே்கததுடன் ேடடபபறாலதயில் நுலைய வேணடும்?

(a) 2_gR_

(b) 3_gR_

(c) 5_gR_

(d) gR 8. ஒரு மூடிய பறாலதக்கு ஆற்றல் மறாற்றறா

வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலல ? (a) எபவபறாதும் எதிர குறியுலடயது (b) சுழி (c) எபவபறாதும் வநரக்குறியுலடயது (d) ேலரயறுக்்கபபடறாதது

9. ஒரு சபறாருளின் வநரக்வ்கறாடடு உ்நதம் 0.1% உயர்நதறால் அதன் இயக்்க ஆற்றல் உயரும் அ்ளவு

(a) 0.1_% (b)_ 0.2_%_ (c) 0.4_%_ (d) 0.01%

10. ஒரு சபறாருளின் நிலல ஆற்றல் 2

2 _x_βα −

எனில், சபறாருளினறால் உணரபபடட வில�

(_a) F x_  2

2

_(b) F x_ 

_(c) F x_ 

_(d) F x_   2

2

11. ்கறாற்றறால் இயஙகும் ஒரு மின்னியறறி ்கறாறறு ஆற்றலல மின் ஆற்றலறா்க மறாறறுகி்றது. மின்னியறறியறானது அதன் இ்றக்ல்க்களில் படும் ்கறாறறு ஆற்றலில் ஒரு குறிபபிடட பகுதிலய மடடும் மின் ஆற்றலறா்க மறாறறுேதறா்கக் ்கருது்க. v என்பது ்கறாறறின் வே்கம் எனில், சேளியீடு மின்தி்றன் எதறகு வநரவிகிதததில் இருக்கும்?

(a) v (b) _v_2

(c) _v_3 (d) _v_4

12. �ம நில்றயுள்ள இரு சபறாருள்கள m1 மறறும் m2 ஒவர வநரக்வ்கறாடடில் முல்றவய 5 m s-1

மறறும் -9 m s-1 என்்ற தில�வே்கங்களில் இயஙகுகின்்றன. வமறாதலறானது மீடசி வமறாதல் எனில் வமறாதலுக்குபபின் m1 மறறும் m2 சபறாருள்களின் தில�வே்கங்கள, முல்றவய

(a) -4 m s-1 மறறும் 10 m s-1

(b) 10 m s-1 மறறும் 0 m s-1

(c) -9 m s-1 மறறும் 5 m s-1

(d) 5 m s-1 மறறும் 1 m s-1

13. ஒரு சபறாருள சதறாடக்்கப புளளியில் லேக்்கபபடடு F = kx என்்ற வில� அதன் மீது ச�யல்படுகி்றது (k என்பது வநரக்குறி மதிபபுள்ள மறாறிலி) U(0) = 0 எனில் U(x) மறறும் x இலடவய உள்ள ேலரபடமறானது (இஙகு U என்பது நிலல ஆற்றலின் �றாரபு)

a)

U(x)

x b) x

U(x)

c) x

U(x)

d) x

U(x)

14. x- அச்சின் ேழிவய இயஙகுமறாறு ்கடடுபபடுததபபடட ஒரு சபறாருள அவத தில�யில் ஒரு வில�க்கு உடபடுததபபடுகி்றது. அவ்வில�யறானது சதறாடக்்கபபுளளியில் இரு்நது சபறாருளின் சதறாலலவு x ஐப சபறாறுதது F(x)=-kx +ax3 என மறாறுகி்றது. இஙகு k மறறும் a என்பலே வநரக்குறி மதிபபுள்ள மறாறிலி்கள. x 0≥ என்பதறகு சபறாருளின் நிலல ஆற்றலுக்்கறான �றாரபு ேடிேம்

a) x

U(x)

b) x

U(x)

c)

x

U(x)

d) x

U(x)

15. k என்்ற வில� மறாறிலி ச்கறாணட ஒரு சுருளவில் ஒரு துணடு மறச்றறான்ல்ற விட இரு மடஙகு நீ்ளம் உள்ளேறாறு இரு துணடு்க்ளறா்க சேடடபபடுகி்றது. நீ்ளமறான துணடு சபறறுள்ள வில� மறாறிலியறானது

(a) 2 3

k

(b) 3 2

k

(c) 3k

(d) 6k

விலடகள் 1) c 2) d 3) a 4) a 5) b 6) a 7) c 8) b 9) b 10) b 11) c 12) c 13) c 14) d 15) b

|——|——|

|——|——|

II. குறு வினோககள் 1. இயறபியலில் வேலலயின் ேலரயல்ற-

யறானது சபறாதுக்்கருததிலிரு்நது எவ்ேறாறு மறாறுபடுகி்றது என்பலத வி்ளக்கு்க.

2. பல்வேறு ேல்கயறான நிலல ஆற்றலலக் கூறு்க. அதன் �மன்பறாடு்கல்ள வி்ளக்கு்க.

3. ஆற்றல் மறாற்றறா வில� மறறும் ஆற்றல் மறாறறும் வில�்களுக்கு இலடவய உள்ள வேறுபறாடு்கல்ளக் கூறு்க. ஒவ்சேறான்றிறகும் இரு உதறாரணங்கள தரு்க.

4. மீடசி மறறும் மீடசியற்ற வமறாதலின் சி்றபபியல்பு்கல்ள வி்ளக்கு்க.

5. பின்ேருேனேறல்ற ேலரயறு (a) மீடசியளிபபு குண்கம் (b) தி்றன் (c) ஆற்றல் மறா்றறா விதி (d) மீடசியற்ற வமறாதலில் இயக்்க ஆற்றல்

இைபபு

III. க�டு வினோககள் 1. மறா்றறா வில� மறறும் மறாறும் வில�யறால்

ச�யயபபடட வேலல்களுக்கிலடவய உள்ள வேறுபறாடு்கல்ள ேலரபடங்களுடன் வி்ளக்கு்க.

2. வேலல ஆற்றல் தததுேதலதக் கூறி வி்ளக்கு்க. அதறகு ஏவதனும் மூன்று உதறாரண்கல்ளக் கூறு்க.

3. தி்றன் மறறும் தில�வே்கததிற்கறான வ்கறாலேலயத தருவி. அதறகுச் சில உதறாரணங்கள தரு்க.

4. ஒரு பரிமறாண மீடசி வமறாதலில் சபறாருட்களின் தில�வே்கததிற்கறான �மன்பறாடலடத தருவிதது, அதன் பல்வேறு வநரவு்கல்ள விேரி.

5. மீடசியற்ற வமறாதல் என்்றறால் என்ன? அது மீடசிவமறாதலில் இரு்நது எவ்ேறாறு மறாறுபடடது? அன்்றறாட ேறாழ்வில் மீடசியற்ற வமறாதலுக்கு சில உதறாரணங்கல்ளக் கூறு்க.

IV. ்பயிறசிக கணககுகள் 1. 2 kg பளுலே 10 m உயரததிறகு தூக்கும்

30 N வில�யினறால் ச�யயபபடட வேலலலயக் ்கணக்கிடு்க. (g=10 m s-2)

விலட: 300 J

2. ஒரு உரறாயேற்ற கிலடதத்ளததில் 5 m s-1 தில�வே்கதலதக் ச்கறாணட ப்நது ஒன்று ச�ஙகுததுடன் 60° வ்கறாணததில் வமறாதுகி்றது. மீடசியளிபபு குண்கம் 0.5 எனில் வமறாதலுக்குப பி்றகு ப்நதின் தில�வே்கம் மறறும் தில�லயக் ்கறாண்க.

விலட: v = 4.51 m s-1

3. படததில் ்கறாடடியுள்ளேறாறு m நில்றயுள்ள ஒரு குணடு r நீ்ளமுள்ள பு்றக்்கணிக்்கத தக்்க நில்ற ச்கறாணட ்கம்பியில் இலணக்்கபபடடு மறுமுலன o என்்ற நிலலயறான லமயததில் தலடயின்றி சுைலுமறாறு சபறாருததபபடடுள்ளது. ேடடததின் வமறபுளளிலய அலடய சபறாருளுக்கு அளிக்்க வேணடிய வே்கம் என்ன? (குறிபபு: ஆற்றல் மறா்றறா விதிலயப பயன்படுதது்க) இ்நத வே்கம் பறாடபபகுதி 4.2.9 இல் சப்றபபடட வே்கதலதவிட குல்றேறானதறா அல்லது அதி்கமறானதறா?

விலட: v = gr4 m 1−_s_

O r

r

m

m

4. A மறறும் B என்்ற இரு நில்ற சதரியறாத சேவ்வேறு சபறாருள்கள வமறாதிக் ச்கறாளகின்்றன. சதறாடக்்கததில் சபறாருள A ஓயவு நிலலயிலும், B ஆனது v வே்கதலதயும் ச்கறாணடுள்ளது. வமறாதலுக்குப பின் சபறாருள B ஆனது

2 v

என்்ற வே்கதலதப சபறறு அதன் ஆரம்ப இயக்்க தில�க்கு ச�ஙகுததறா்கச் ச�ல்கி்றது. வமறாதலுக்குபபின் சபறாருள A ச�ல்லும் தில�லயக் ்கறாண்க.

விலட: θ = 26° 33’ 5. 20 g நில்ற ச்கறாணட ஒரு துபபறாக்கி குணடு

5 kg நில்றயுள்ள ஊ�ல் குணடில் வமறாதுகி்றது. ஊ�லின் நில்றயின் லமயம் 10 cm ச�ஙகுததுத சதறாலலவு உயருகி்றது. துபபறாக்கி குணடு ஊ�லில் சபறாதி்நதுவிடடறால் அதன் சதறாடக்்க வே்கதலதக் ்கணக்கிடு்க.

விலட: v = 351.4 m s-1

நமறநகோள் நூல்கள்

1. Charles Kittel, Walter Knight, Malvin Ru Mechanics, 2nd edition, Mc Graw Hill Pvt Ltd

2. A.P.French, Newtonian Mechanics, Viva-

3. Somnath Datta, Mechanics, Pearson Pub

4. H.C.Verma, Concepts of physics volume 1

5. Serway and Jewett, Physics for scientist an Coole publishers, Eighth edition

6. Paul Tipler and Gene Mosca, Physics for Sixth edition, W.H. freeman and Company.

derman, Carl Helmholtz and Moyer, ,

Norton Student edition

lication

and Volume 2, Bharati Bhawan Publishers

d Engineers with modern physics, Brook/

scientist and engineers with modern physics,

ஆற்றல்

அறிநவோம் ஆற்றலல ! இ்நதச் ச�யல்பறாடடின் மூலம் நிலல ஆற்றல் மறறும் இயக்்க ஆற்றலலப பறறி புரி்நது ச்கறாளவேறாம்.

படி்கள • கீழ்க்்கறாணும் உரலி / விலரவுக் குறியீடலடப பயன்படுததி Ph

ச�ல்லவும். OK என்பலதச் ச�றாடுக்கிச் ச�யல்பறாடலடத துேங்க • உயரதலதத வதரவு ச�யது இயக்்க ஆற்றல் மறறும் நிலலயறாற • அவதவபறால் நில்றலயயும் மறாறறி ஏறபடும் மறாற்றங்கல்ள உற • உங்கள வதலேக்வ்கறப உரறாயவுத த்ளதலத உருேறாக்கி, அதி

வநறாக்கு்க.

உரலி: https://phet.colorado.edu/en/simulation/energy-skate- *படங்கள அலடயறா்ளததிறகு மடடும். * Flash Player or Java Script வதலேசயனில் அனுமதிக்்க.

_இலண்யச் கை்யல்்போடு _

படி 1

படி 3

_ ைறுககி_

ET - energy-skate என்னும் இலணயப பக்்கததிறகுச் வும். ்றலில் ஏறபடும் மறாற்றங்கல்ள உறறு வநறாக்கு்க.

று வநறாக்கு்க. ல் ஏறபடும் இயக்்க ஆற்றல் மறறும் நிலலயறாற்றலல உறறு

park

படி 4

படி 2